[논문 리뷰] Permutations containing a pattern exactly once and avoiding at least two patterns of three letters

Toufik Mansour|ArXiv.org|2002. 02. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 패턴 τ를 정확히 한 번 포함하면서 최소 두 개의 3글자 패턴을 피하는 순열의 생성함수에 대한 명시적 공식과 재귀 관계를 제공한다. 구조적 분해와 생성함수 기법을 사용하여 |T| = 2, 3, 및 ≥4인 경우에 대해 이러한 순열 집합을 분류하고, Sₙ(T;τ)의 원소 수에 대한 닫힌 형식 또는 재귀식을 도출한다. 주요 기여는 생성함수를 통한 이러한 거의 Wilf-클래스 집합의 완전한 수세기적 특성화이다.

ABSTRACT

In this paper, we find an explicit formulas, or recurrences, in terms of generating functions for the cardinalities of the sets $S_n(T;τ)$ of all permutations in $S_n$ that contain $τ\in S_k$ exactly once and avoid a subset $T\subseteq S_3$, $|T|\geq2$. The main body of the paper is divided into three sections corresponding to the cases $|T|=2,3$ and $|T|\geq4$.

연구 동기 및 목표

• 주어진 패턴 τ를 정확히 한 번 포함하면서 최소 두 개의 3글자 패턴으로 구성된 집합 T를 피하는 순열을 세는 것.
• Wilf 등가 원칙에 기반하여 이러한 순열 집합을 거의 Wilf-클래스로 분류하는 것.
• 모든 유효한 T와 τ 조합에 대해 Sₙ(T;τ)의 원소 수에 대한 명시적 생성함수 공식 또는 재귀 관계를 도출하는 것.
• 다양한 피하기 조건과 함께 정확히 한 번의 패턴 포함을 통합하여 이전의 패턴 피하기 연구를 확장하는 것.

제안 방법

• 논문은 순열에서 최대 원소 n의 위치에 기반한 구조적 분해를 사용하며, 3글자 패턴을 피하는 순열에 대한 기존 결과를 활용한다.
• 특히 재귀 관계를 활용한 생성함수 기법을 적용하여, |Sₙ(T;τ)|의 생성함수 Aₜ(x)를 더 작은 부분 문제로 표현한다.
• |T|=2,3,≥4의 각 경우에 대해, 보완, 역전, 역행 기법을 활용하여 Wilf 및 거의 Wilf-클래스의 표준 대표 원소를 식별한다.
• Mansour(2002)와 Simion-Schmidt(1995)의 이전 결과에 기반하여 특정 3글자 패턴을 피하는 순열의 구조를 특성화한다.
• 분석은 τ의 형태와 T의 구조에 따라 사례별로 나누며, 특히 최대 감소 또는 증가 전행에 중점을 둔다.
• |T|≥4인 경우, Erdős–Szekeres 정리를 활용하여 피하기 및 포함 조건을 만족하는 순열이 유한함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 n인 순열 중 주어진 k글자 패턴 τ를 정확히 한 번 포함하면서 최소 두 개의 3글자 패턴 집합 T를 피하는 순열의 수에 대한 생성함수는 무엇인가?
• RQ2 τ의 구조와 T의 선택에 따라 Sₙ(T;τ)의 생성함수는 어떻게 달라지며, 특히 |T|=2,3, 또는 ≥4일 경우 어떻게 달라지는가?
• RQ3 어떤 T와 τ의 조합이 유한 또는 무한 개의 순열을 생성하며, 각 경우의 정확한 생성함수는 무엇인가?
• RQ4 정확히 한 번의 패턴 포함과 다중 피하기 조건을 동시에 고려할 때, 거의 Wilf-클래스의 구조를 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ5 모든 유효한 T와 τ에 대해 Sₙ(T;τ)의 생성함수에 대한 명시적 닫힌 형식 또는 재귀 표현식은 무엇인가?

주요 결과

• T={123,132,213}일 때, τ의 최대 감소 또는 증가 전행에 따라 생성함수 Aₜ(x)에 대한 재귀 관계를 제공하며, τ'이 비어 있거나 아닌지에 따라 명시적 공식이 달라진다.
• T={123,132,213}일 때, τ=(k−1,k,τ')이면 생성함수 Eₜ(x) = x²/(1−x)⋅Eₜ'(x)이고, τ=(k,τ')이면 Eₜ(x) = x⋅Eₜ'(x)이며, 작은 τ에 대한 기저 사례가 주어진다.
• T={123,132,231}일 때, 생성함수 Fₜ(x)는 τ=(k,…,2,1), (k,…,k−r+1,k−r−1,…,1,k−r), 및 (k,…,2,1)일 때 xᵏ이며, Fₜ(x) = xᵏ + (k−1)xᵏ⁺¹이다.
• T={132,213,231}일 때, 생성함수 Hₜ(x)는 τ=(k,…,r+1,1,2,…,r)이면 xᵏ이며, τ=(1,2,…,k)이면 Hₜ(x) = xᵏ/(1−x)이다.
• T={123,132,213,231}일 때, |Sₙ(T;τ)|는 τ와 n에 대한 명시적 조건을 만족할 경우에만 n=k 또는 n=k+1일 때 1이고, 그 외에는 0이다.
• 모든 |T|≥4의 경우, 비영인 값은 τ가 역순 항등 또는 항등 순열일 때에만 발생하며, 이는 n=k 또는 n=k+1일 때에만 해당한다.