[논문 리뷰] Permutations of Strongly Self-Absorbing C*-algebras

Ilan Hirshberg, Wilhelm Winter|ArXiv.org|2007. 08. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한군 작용에 의한 C*-대수의 교차곱이 원래 대수가 특정한 유형의 무한 UHF 대수, Jiang-Su 대수 𝒪₂, 또는 근사적으로 나누어떨어지는 경우, 강한 자기흡수 성질을 유지함을 밝힌다. 핵심 결과는 𝒟⊗ⁿ에서 𝒜의 중심 시퀀스 대수로의 G-등변 단위 호모모르피즘 ψ: 𝒟⊗ⁿ → ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ 가 존재할 경우, 교차곱 𝒜×G가 𝒟-흡수성을 갖는다는 것이다. 이는 Rokhlin 유형 작용을 초월하는 영속성 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let G be a finite group acting on {1,...,n}. For any C*-algebra A, this defines an action of αof G on A^{\otimes n}. We show that if A tensorially absorbs a UHF algebra of infinite type, the Jiang-Su algebra, or is approximately divisible, then A imes_α G has the corresponding property as well.

연구 동기 및 목표

• Rokhlin 성질을 갖는 작용을 초월하여 C*-대수에서 강한 자기흡수성에 대한 영속성 결과를 확장하는 것.
• 유한 순열 작용에 의한 교차곱이 알려진 강한 자기흡수성 C*-대수 𝒟에 대해 𝒟-흡수성을 유지하는지 조사하는 것.
• 𝒜가 𝒟-안정적이거나 근사적으로 나누어떨어지는 경우 𝒜×G가 𝒟-흡수성을 갖는 조건을 설정하는 것.
• 대칭군 작용 하에서 텐서곱의 고정점 대수에 대한 𝒟의 단위 임베딩을 구성적으로 증명하는 것.

제안 방법

• 𝒜의 중심 시퀀스 대수로의 G-등변 단위 호모모르피즘 ψ: 𝒟⊗ⁿ → ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ 를 사용하여 작용의 구조를 중심 시퀀스 대수로 옮기는 것.
• 특정 𝒟, 즉 무한 유형의 UHF 대수, Jiang-Su 대수 ℤ, 그리고 p,q > n 인 Mₚ⊕M_q에 대해 (𝒟⊗ⁿ)ˢⁿ 에 대한 단위 임베딩을 구성하는 것.
• 단체 Δ = [0,1]ⁿ/Sₙ 위에서 C*-대수의 섬유 분석을 적용하여 (ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ 의 모든 섬유가 ℤ-흡수성임을 보이는 것.
• UHF 대수 2∞ 또는 3∞ 는 [JS, 정리 5]에 의해 ℤ-흡수성임을 이용하여 고정점 대수의 ℤ-흡수성을 유도하는 것.
• 텐서곱 위에서 대칭군 작용의 구조를 활용하여 등장하는 이sov역-불변 부분대수가 UHF 대수를 흡수함을 보이는 것.
• 유한 커버링 차원에 관한 정리 2.4 ([HRW]) 를 적용하여 (ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ 이 ℤ-흡수성임을 결론짓는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 순열 작용에 의한 교차곱 𝒜×G 가 강한 자기흡수성 C*-대수 𝒟에 대해 𝒟-흡수성을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Rokhlin 성질이 없는 작용, 예를 들어 텐서곱 위에서 대칭군 작용이 이루어지는 경우, 𝒟-흡수성이 유지될 수 있는가?
• RQ3 𝒟 = ℰ = C([0,1], M₂∞⊗M₃∞) 인 경우, 대칭군 작용 하에서 고정점 대수 (𝒟⊗ⁿ)ˢⁿ 에 Jiang-Su 대수 ℤ 의 단위 임베딩이 존재하는가?
• RQ4 𝒟 가 무한 유형의 UHF 대수일 경우, 대칭군 작용 하에서 텐서곱의 고정점 대수가 UHF 대수를 흡수하는가?
• RQ5 근사 나눗셈의 영속성은 순열 작용 하에서 교차곱으로까지 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 𝒜가 무한 유형의 UHF 대수, Jiang-Su 대수 ℤ, 또는 𝒪₂ 또는 𝒪∞ 에 대해 𝒟-안정적일 경우, 𝒜×G 는 𝒜⊗ⁿ 에서 G 의 유한 순열 작용에 대해 항상 𝒟-흡수성임을 보장한다.
• 𝒟 = ℤ 인 경우, ℰ = {f ∈ C([0,1], M₂∞⊗M₃∞) | f(0) ∈ M₂∞⊗1, f(1) ∈ 1⊗M₃∞} 이면 단체 Δ 위에서 섬유 분석을 통해 (ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ 에 ℤ 의 단위 임베딩이 존재한다.
• 고정점 대수 (ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ 는 모든 섬유가 ℤ-흡수성이고 Δ 가 유한 커버링 차원을 갖기 때문에 ℤ-흡수성이다.
• 이소트로피-불변 부분대수 (ℰₛⱼ⊗ᵏʲ)ˢᵏʲ 는 2∞ 또는 3∞ 유형의 UHF 대수를 흡수하며, 따라서 [JS, 정리 5]에 의해 ℤ-흡수성이다.
• 𝒟 = Mₚ⊕M_q 이고 p,q > n 일 경우, 𝒟⊗ⁿ 에서 ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ 로의 G-등변 단위 호모모르피즘 ψ: 𝒟⊗ⁿ → ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ 가 존재하면 𝒜×G 는 근사적으로 나누어떨어진다.
• 이 결과는 Rokhlin 성질이 없는 작용, 예를 들어 ℤ 가 ℤ⊗ⁿ 에 순열 작용을 할 경우에도 성립한다. 이 경우, 프로젝션의 부재로 인해 Rokhlin 작용이 존재하지 않는다.