[논문 리뷰] Permutations with restricted patterns and Dyck paths

Christian Krattenthaler|ArXiv.org|2000. 02. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 132-avoiding 순열과 다이크 경로 사이의 직접적인 일대일 대응을 수립하여, 모트킨 경로 및 다이크 경로에 대한 기존 결과를 통해 패턴을 피하는 순열의 생성 함수를 연속 분수와 체비세프 다항식으로 번역할 수 있도록 한다. 주요 기여는 이 조합적 대응을 통해 크기 $ n $ 인 132-avoiding 순열 중 정확히 $ r $개의 패턴 $ 12\dots k $를 포함하는 순열의 수에 대한 정밀한 점근적 추정을 도출한 것이다.

ABSTRACT

We exhibit a bijection between 132-avoiding permutations and Dyck paths. Using this bijection, it is shown that all the recently discovered results on generating functions for 132-avoiding permutations with a given number of occurrences of the pattern $12... k$ follow directly from old results on the enumeration of Motzkin paths, among which is a continued fraction result due to Flajolet. As a bonus, we use these observations to derive further results and a precise asymptotic estimate for the number of 132-avoiding permutations of $\{1,2,...,n\}$ with exactly $r$ occurrences of the pattern $12... k$. Second, we exhibit a bijection between 123-avoiding permutations and Dyck paths. When combined with a result of Roblet and Viennot, this bijection allows us to express the generating function for 123-avoiding permutations with a given number of occurrences of the pattern $(k-1)(k-2)... 1k$ in form of a continued fraction and to derive further results for these permutations.

연구 동기 및 목표

• 패턴을 피하는 순열의 생성 함수 분석을 통합하고 단순화하기 위해 132-avoiding 순열과 다이크 경로 사이의 조합적 대응을 수립하는 것.
• 고정된 수의 패턴 $ 12\dots k $ 발생을 갖는 132-avoiding 순열의 생성 함수가 모트킨 경로에 대한 기존 결과로부터 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• $ \{1,2,\dots,n\} $의 132-avoiding 순열 중 정확히 $ r $개의 패턴 $ 12\dots k $를 포함하는 순열의 수에 대한 정밀한 점근적 추정을 제공하는 것.
• 다이크 경로와의 대응을 통해 123-avoiding 순열로의 접근을 확장하고, 로블레 및 비에누의 다이크 경로 수세기 결과와 결합하는 것.

제안 방법

• 왼쪽에서 오른쪽으로 읽으며, 오른쪽에 있는 더 큰 원소의 수에 따라 올라가는 단계와 내려가는 단계를 추가함으로써 132-avoiding 순열에서 다이크 경로를 구성하는 사상 $ \Phi $를 정의한다.
• 다이크 경로와 모트킨 경로 사이의 알려진 대응을 사용하여, 모트킨 경로 생성 함수에 대한 플라주올레의 연속 분수 결과를 적용한다.
• 패턴 $ 12\dots k $를 정확히 $ r $번 포함하는 132-avoiding 순열의 생성 함수를 제2종 체비세프 다항식을 포함하는 유리함수 형태로 표현한다.
• 123-avoiding 순열과 다이크 경로 사이의 대응을 활용하고, 로블레 및 비에누의 피크와 비피크 내리막 단계로 가중된 다이크 경로의 연속 분수 공식을 결합한다.
• 전이 행렬 방법과 경로 그래프 위의 걷기 문제에 대한 행렬식 기반 생성 함수를 사용하여 가중 경로 수의 닫힌 형태를 유도한다.
• 역 다항식 변환 $ p^*(x) = x^n p(1/x) $를 사용하여 생성 함수를 직교 다항식과 연속 분수의 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 패턴 $ 12\dots k $를 정확히 $ r $번 포함하는 132-avoiding 순열의 생성 함수를 닫힌 형태로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 크기 $ n $ 인 132-avoiding 순열 중 정확히 $ r $개의 패턴 $ 12\dots k $를 포함하는 순열의 수의 점근적 성장률은 무엇인가?
• RQ3 123-avoiding 순열과 다이크 경로 사이의 대응을 구성할 수 있으며, 이는 기존의 대응과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 다이크 경로의 연속 분수 생성 함수는 어떤 식으로 123-avoiding 순열의 특정 패턴 발생 수를 갖는 생성 함수로 번역되는가?

주요 결과

• 패턴 $ 12\dots k $를 정확히 $ r $번 포함하는 132-avoiding 순열의 생성 함수는 제2종 체비세프 다항식의 형태로 명시적으로 표현된다.
• 크기 $ n $ 인 $ \{1,2,\dots,n\} $의 132-avoiding 순열 중 정확히 $ r $개의 패턴 $ 12\dots k $를 포함하는 순열의 수에 대한 정밀한 점근적 추정이 유도되었으며, 이는 $ n \to \infty $ 일 때 유효하다.
• 기존의 시모인–슈마이트 대응과 다를 바 있는 새로운 123-avoiding 순열과 다이크 경로 사이의 대응이 구성되었다.
• 패턴 $ (k-1)(k-2)\dots 1k $를 특정 수의 발생을 갖는 123-avoiding 순열의 생성 함수는 로블레 및 비에누의 결과를 통해 연속 분수 형태로 표현된다.
• 연속 분수를 포함하는 생성 함수와 체비세프 다항식 사이의 연결 고리는 본질적으로 다이크 경로 수세기에서 기인한다.
• 논문은 다이크 경로 프레임워크를 사용하여 이전의 132-avoiding 및 123-avoiding 순열에 대한 패턴 수 제한 결과를 복원하고 확장한다.