[논문 리뷰] Perron's method for viscosity solutions of semilinear path dependent PDEs

Zhenjie Ren|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 페론의 방법을 사용하여 비선형 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성 해의 존재성을 확립하며, 점성 하위해의 상한이 점성 해임을 보여준다. 반연속 점성 해에 대한 새로운 정규화 기법을 도입하고, 비교 원리를 증명함으로써 비선형 기대에 대한 최적 정지 문제에 대한 새로운이고 간결한 증명을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper proves the existence of viscosity solutions of path dependent semilinear PDEs via Perron's method, i.e. via showing that the supremum of viscosity subsolutions is a viscosity solution. We use the notion of viscosity solutions introduced by Ekren, Keller, Touzi and Zhang, in whose work all smooth processes which are tangent in mean are considered as test functions. We also provide a comparison result for semicontinuous viscosity solutions, by using a regularization technique. As an interesting byproduct, we give a new short proof for the optimal stopping problem with semicontinuous obstacles.

연구 동기 및 목표

• 비선형 기대에 대한 최적 정지 문제에 대한 새로운 간결한 증명을 제공한다.
• 비선형 기대 하에서 반연속 장애물이 있는 최적 정지 문제를 PDE 기반 방법을 사용하여 해결한다.
• 비선형 기대 하에서 반연속 장애물이 있는 최적 정지 문제에 대한 새로운 간결한 증명을 제공한다.
• 비선형 기대 하에서 반연속 장애물이 있는 최적 정지 문제에 대한 새로운 간결한 증명을 제공한다.
• 비선형 기대 하에서 반연속 장애물이 있는 최적 정지 문제에 대한 새로운 간결한 증명을 제공한다.

제안 방법

• 모든 점성 하위해의 점별 상한을 취하여 후보 해를 구성함으로써 페론의 방법을 적용한다.
• 경로를 따라 뒤로 거리의 기반으로 하는 새로운 정규화 기법을 도입하여 반연속 점성 하위해를 연속적으로 만든다.
• 정규화가 점성 하위해 성질을 유지하고 원래 함수로의 수렴을 보장한다.
• 스코로코드 분해의 최소 조건을 활용하여 반연속 장애물에 대한 최적 정지 결과에 대한 새로운이고 단순화된 증명을 유도한다.
• 정규화를 통해 상부 연속 점성 하위해와 하부 연속 점성 초월해 사이의 비교 결과를 확립한다.
• [9]에서 소개된 바와 같이, 미분 가능하고 평균에서 탄성하는 테스트 함수를 통해 정의된 점성 해의 개념에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페론의 방법이 비선형 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성 해를 구성하는 데 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 경로에 의존하는 설정에서 반연속 점성 해에 대해 비교 원리가 성립하는가?
• RQ3 점성 하위해 성질을 유지하면서 함수를 연속적으로 만들 수 있는 정규화 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ4 비선형 기대 하에서 반연속 장애물이 있는 최적 정지 문제는 PDE 방법을 통해 해결 가능한가?
• RQ5 개발된 정규화 기법을 경로에 의존하는 편미분방정식의 완전 비선형 경우로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 점성 하위해의 상한은 점성 해임을 보여, 경로에 의존하는 설정에서 페론의 방법을 통한 존재성의 확립이 이루어진다.
• 경로를 따라 뒤로 거리의 기반으로 하는 새로운 정규화 기법이 점성 하위해 성질을 유지하면서 연속성과 수렴성을 보장한다.
• 제안된 정규화를 통해 반연속 점성 해에 대한 비교 원리를 증명함으로써 페론의 방법의 적용이 가능해진다.
• 비선형 기대 하에서 반연속 장애물이 있는 최적 정지 문제에 대해 새로운이고 간결한 증명이 제공된다. 이는 스키로코드 분해의 최소 조건을 활용한다.
• 정규화 기법이 주어진 비선형 기대 하에서 연속적이고 안정적이며, 충돌 시간의 기대값을 통해 수렴이 확립된다.
• 특히 SDE가 이용할 수 없는 완전 비선형 케이스에서 SDE 기반 접근법에 대체할 수 있는 PDE 기반 접근법을 제공한다.