[논문 리뷰] Persistence of Activity in Threshold Contact Processes, an

Shirshendu Chatterjee, Rick Durrett|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 30.

Gene Regulatory Network Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유전자 조절 네트워크를 수정된 무작위 부울 네트워크로 모델링하는 무작위 그래프에서 진입도 r인 임계값 접촉 프로세스에서 활동의 지속성을 연구한다. r ≥ 3 이고 r·2p(1−p) > 1일 때, 활동은 적어도 exp(cn^b(p)) 시간 동안 지속하며, b(p) = 1일 때 (r−1)·2p(1−p) > 1이 성립하면 기저 부울 네트워크에서의 혼돈 역학을 나타낸다.

ABSTRACT

We consider a model for gene regulatory networks that is a modification of Kauffmann's (1969) random Boolean networks. There are three parameters: $n =$ the number of nodes, $r =$ the number of inputs to each node, and $p =$ the expected fraction of 1's in the Boolean functions at each node. Following a standard practice in the physics literature, we use a threshold contact process on a random graph on $n$ nodes, in which each node has in degree $r$, to approximate its dynamics. We show that if $r\ge 3$ and $r \cdot 2p(1-p)>1$, then the threshold contact process persists for a long time, which correspond to chaotic behavior of the Boolean network. Unfortunately, we are only able to prove the persistence time is $\ge \exp(cn^{b(p)})$ with $b(p)>0$ when $r\cdot 2p(1-p)> 1$, and $b(p)=1$ when $(r-1)\cdot 2p(1-p)>1$.

연구 동기 및 목표

• 임계값 역학으로 모델링된 유전자 조절 네트워크에서 활동의 지속성을 이해하기 위해.
• 각 노드의 진입도가 r인 무작위 그래프에서의 임계값 접촉 프로세스를 네트워크의 역학에 대한 근사로 분석하기 위해.
• 지속적인 활동에 해당하는 장수명의 혼란스러운 행동을 보이는 조건을 규명하기 위해.
• 네트워크 크기 n과 매개변수 p에 따라 활동의 지속 시간에 대한 하한을 설정하기 위해.

제안 방법

• n개의 노드와 각 노드의 진입도가 r인 무작위 그래프에서의 임계값 접촉 프로세스를 사용하여 유전자 조절 네트워크를 모델링한다.
• 각 노드의 부울 함수를 기대값이 1의 비율이 p인 무작위 함수로 간주하여 평균장 근사를 적용한다.
• 스토케스틱 프로세스 기법을 사용하여 임계값 접촉 프로세스의 생존 시간을 분석한다.
• 프로세스가 적어도 exp(cn^b(p)) 시간 동안 지속하는 조건인 r과 p에 대한 조건을 유도한다.
• 지속 시간을 근사하기 위해 분기 과정 근사를 활용하며, 특히 r·2p(1−p) > 1일 경우에 초점을 맞춘다.
• b(p) = 1일 때 (r−1)·2p(1−p) > 1이 성립함을 증명하며, 이는 더 강력한 조건 하에서 n에 대해 지수적 지속을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진입도 r인 무작위 그래프에서의 임계값 접촉 프로세스가 오랫동안 지속되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 부울 함수에서 1의 기대 비율 p가 네트워크의 활동 지속성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 n과 매개변수 r, p에 따라 프로세스의 지속 시간에 대한 하한은 무엇인가?
• RQ4 조건 r·2p(1−p) > 1은 기저의 부울 네트워크에서 혼란스러운 행동과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 지속 시간이 exp(cn)으로 스케일링되는 경우, 즉 지수적 증가가 빠른 경우는 언제인가?

주요 결과

• r ≥ 3 이고 r·2p(1−p) > 1일 경우, 임계값 접촉 프로세스는 적어도 exp(cn^b(p)) 시간 동안 지속하며, b(p) > 0이다.
• 만약 (r−1)·2p(1−p) > 1이면 b(p) = 1이며, 이는 지속 시간이 n에 대해 지수적임을 의미한다.
• 조건 r·2p(1−p) > 1 하에서 지속 시간은 n에 대해 초다항적으로 증가한다.
• 이 조건 하에서 원래의 무작위 부울 네트워크 모델에서 혼란스러운 행동 존재를 뒷받침하는 결과이다.
• 분석을 통해 임계값 접촉 프로세스의 흡수까지의 시간에 대한 엄밀한 하한을 확보하였으며, 장수명 활동을 확인한다.
• 임계값 접촉 프로세스는 진입도가 높고 p가 극단적이지 않은 유전자 조절 네트워크에서 지속적인 활동을 잘 근사한다.