[논문 리뷰] Persistence of laminations

Pierre Berger|ArXiv.org|2008. 07. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $C^r$-편미분에 대한 정상성의 일반화된 증명을 제시하며, 고전적 Hirsch-Pugh-Shub 정리의 범위를 비가역적이고 특이한 엔도모르피즘, 비콤팩트 레이어, 복소해석적 환경으로 확장한다. 복소구조의 변형 이론과 콘 필드 구성 방법을 사용하여, $C^r$-지속 가능한 레이어와 해석적 편미분에 의한 복소 레이어의 가속 가속화를 확립하며, Hénon 사상과 피브어드 복소 동역학에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We present a modern proof of some extensions of the celebrated Hirsch-Pugh-Shub theorem on persistence of normally hyperbolic compact laminations. Our extensions consist of allowing the dynamics to be an endomorphism, of considering the complex analytic case and of allowing the laminations to be non compact. To study the analytic case, we use the formalism of deformations of complex structures. We present various persistent complex laminations which appear in dynamics of several complex variables: Henon maps, fibered holomorphic maps... In order to proof the persistence theorems, we construct a laminar structure on the stable and unstable of the normally hyperbolic laminations.

연구 동기 및 목표

• 정상성의 고전적 Hirsch-Pugh-Shub $C^r$-지속성 정리가 비역행성 및 특이성을 가진 엔도모르피즘의 경우로 확장될 수 있는가를 다루는 것.
• 레벨의 끌림을 유지하는 동역학의 역상이 레이어의 폐쇄를 유지하도록 요구함으로써, 비콤팩트 레이어로의 지속성 결과를 일반화하는 것.
• 복소구조의 변형 이론을 사용하여, 엔도모르피즘의 해석적 일차원 가속 가속화에 대해 복소 레이어의 가속 가속화를 확립하는 것.
• 콘 필드와 해석적 끌림을 통해 정상성 레이어의 안정 및 불안정 집합에 대해 불변 레이어 형상을 구성하는 것.
• 지속 가능한 레이어가 전체 공간이 단순한 곱 구조가 아니더라도 복소해석적 구조를 유지함을 증명하는 것.

제안 방법

• 안정 및 불안정 방향을 정의하기 위해 접선 배럴의 역상에 콘 필드를 사용하여, 잎 접선 공간에 대해 균일한 수축/확장을 보장하는 것.
• 그라스만다인 배럴에서 국소 차트와 $C^r$-전이를 사용하여 정상 방향의 역상 배럴에 $C^r$-레이어 형상을 구성하는 것.
• 복소 매개변수 공간 위에서 복소 레이어의 해석적 가속 가속화를 구성하기 위해 복소구조의 변형 이론을 적용하는 것.
• 역상 접선 이미지의 반복적 교차를 분석하여 레이어의 접선 공간이 $J$-불변임을 증명하는 것.
• 레벨 자체에 동역학을 정의하기 위해 끌림 사상 $f^*$를 사용하여 플레이크-확장성과 변형과의 호환성을 보장하는 것.
• 레벨 5.2의 유일성에 기반하여, 끌려진 레이어가 해석적 매립임을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비역행성인 미분형이 아닌 엔도모르피즘의 경우 $C^r$-지속성 레이어가 확장될 수 있는가?
• RQ2 끌림 사상이 레이어의 폐쇄를 유지할 경우 비콤팩트 레이어에 대한 지속성 결과가 성립하는가?
• RQ3 HPS 정리가 해석적 환경으로 일반화될 수 있으며, 지속 가능한 복소 레이어의 해석적 가속 가속화가 보장되는가?
• RQ4 지속 가능한 복소 레이어의 구조가 전체 공간에서 곱 구조 $\mathcal{L} \times B_0$ 와 동형일 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 정상 레이어의 정상 방향에 대해 $C^r$-연속 레이어 형상을 구성하여 $C^r$-지속성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 0.1은 비역행성일 수 있는 $r$-정상적으로 확장되는 엔도모르피즘의 경우, 비콤팩트 레이어에 대해서도 $C^r$-지속성을 증명한다.
• 정리 0.2는 이중성의 끌림을 유지하는 $r$-정상적으로 비대칭인 엔도모르피즘의 경우, 변형에 대해 $C^r$-구조를 유지함을 보여준다.
• 정리 0.3는 복소 매개변수 공간 $B_0$ 위에서 해석적 가속 가속화된 복소 레이어 $(\mathcal{L}_t)$ 가 존재함을 증명한다. 이는 엔도모르피즘의 해석적 편미분에 대해 불변이다.
• 지속 가능한 복소 레이어는 항상 곱 구조 $\mathcal{L} \times B_0$ 에서 유래하지 않으며, 例 5.5에서 이를 보여주지만, 충분한 조건이 충족되면 곱 구조가 존재함을 보여주는 정리 5.3가 있다.
• 역상 접선 이미지의 반복적 교차 분석을 통해 지속 가능한 레이어의 접선 공간이 $J$-불변임을 증명한다.
• 콘 필드와 그라스만다인에의 $C^r$-끌임을 통해 정상 방향의 레이어 형상을 구성함으로써, 전체 공간에 잘 정의된 $C^r$-레이어 형상이 존재함을 보장한다.