[논문 리뷰] Persistence under Weak Disorder of AC Spectra of Quasi-Periodic Schroedinger operators on Trees Graphs

Michael Aizenman, Simone Warzel|ArXiv.org|2005. 04. 29.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 무작위 불순물 조건 하에서 1차원 준주기 슈뢰딩거 연산자의 반경 트리 확장에서 절대 연속 스펙트럼의 안정성을 확립한다. 비공진성(quasi-momenta)을 가진 블로흐-플로케 상태의 존재를 이용하여, 리아풀로프 지수(Lyapunov exponent)가 0일 때와 비공진성 값이 이동 연산자의 스펙트럼과 관련된 공진 조건을 피할 경우, 절대 연속 스펙트럼이 유지됨을 증명한다.

ABSTRACT

We consider radial tree extensions of one-dimensional quasi-periodic Schroedinger operators and establish the stability of their absolutely continuous spectra under weak but extensive perturbations by a random potential. The sufficiency criterion for that is the existence of Bloch-Floquet states for the one dimensional operator corresponding to the radial problem.

연구 동기 및 목표

• 반경 트리 확장에서 1차원 준주기 슈뢰딩거 연산자에 대한 절대 연속 스펙트럼의 안정성을 약한 무작위 불순물 조건 하에서 조사한다.
• 약한 광범위한 무작위 포텐셜 도입 시에도 절대 연속 스펙트럼이 안정성을 유지하는 조건을 규명한다.
• 프로젝티브 슈뢰딩거 코시클 방정식의 해의 유일성과 절대 연속 스펙트럼의 지속성 간의 연결 고리를 수립한다.
• 비공진성 블로흐-플로케 상태의 존재가 약한 불순물 조건 하에서 스펙트럼 안정성을 보장함을 보인다.
• 슈뢰딩거 코시클의 기약성과 비공진성 준모멘타의 부재를 바탕으로 한 스펙트럼 안정성 기준을 제시한다.

제안 방법

• 루트에서의 거리에 따라 의존하는 포텐셜을 가진 $\ell^2(\mathbb{T})$ 위에서 작용하는 반경 해밀토니안 ${\widehat{H}}(\theta)$ 를 사용하여 1차원 준주기 슈뢰딩거 연산자의 반경 트리 확장을 분석한다.
• 각 정점에서 독립적이고 동일하게 분포된(iid) 무작위 포텐셜 $\lambda \omega_x$ 를 도입하여, 변형된 연산자 ${\widehat{H}}_\lambda(\theta, \omega)$ 를 구성한다.
• 모비우스 변환 $\mathcal{A}(E,\theta)$ 를 통한 프로젝티브 슈뢰딩거 코시클 형식을 적용한다. 이는 $\gamma \mapsto U(\theta) - E - 1/\gamma$ 를 정의한다.
• 해 $\Gamma(\theta) \in \mathbb{C}^+$ 의 그래프가 코시클 작용에 대해 불변임을 조건으로 삼아 절대 연속 스펙트럼 안정성의 기준을 설정한다.
• 이러한 해가 $\mathbb{C}^+$ 내에서 유일할 경우 스펙트럼 안정성이 보장됨을 증명하며, 쿠페르만 연산자 스펙트럼과 고유함수 분석에 기반한다.
• 비공진성 준모멘타 $\pm k$ 를 가진 블로흐-플로케 상태의 쌍이 존재할 경우, 코시클 방정식에 대한 $\mathbb{C}^+$-값 해의 유일성이 보장됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반경 트리 확장에서 1차원 준주기 슈뢰딩거 연산자의 절대 연속 스펙트럼이 약한 무작위 불순물 조건 하에서도 안정성을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 절대 연속 스펙트럼의 안정성은 $\mathbb{C}^+$ 내에서 프로젝티브 슈뢰딩거 코시클 방정식의 해의 존재성 및 유일성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 비공진성 준모멘타를 가진 블로흐-플로케 상태는 약한 불순물 조건 하에서 절대 연속 스펙트럼의 지속성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 슈뢰딩거 코시클이 상수로 기약 가능하다는 것과 프로젝티브 코시클 방정식의 $\mathbb{C}^+$-값 해의 유일성 간에 어떤 연관성이 있는가?
• RQ5 통합 밀도 $n(E)$ 가 절대 연속 스펙트럼 내 에너지에서 공진 조건 $m \cdot \alpha \mod \mathbb{Z}$ 를 피하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 반경 트리 확장 ${\widehat{H}}(\theta)$ 의 절대 연속 스펙트럼은 1차원 준주기 슈뢰딩거 연산자 $H(\theta)$ 가 준모멘타 $\pm k$ 를 가진 블로흐-플로케 상태의 쌍을 가지며, $|k|/\pi$ 가 $\{ (m \cdot \alpha) \mod \mathbb{Z} \, : \, m \in \mathbb{Z}^\nu \}$ 의 집합에 속하지 않을 경우 약한 불순물 조건 하에서도 유지된다.
• $\mathbb{C}^+$-값 해의 유일성은 프로젝티브 슈뢰딩거 코시클 방정식 $\mathcal{A}(E,\theta)\Gamma(\theta) = \Gamma(S\theta)$ 에 대해 절대 연속 스펙트럼의 안정성과 동치이다.
• 비공진성 준모멘타 조건은 쿠페르만 연산자 $\mathcal{S}$ 의 관련 고유함수 중에서 고유값 $\exp(\pm 2i|k|)$ 를 가지는 비영 고유함수 존재를 방지하며, 이는 $\mathcal{S}$ 의 스펙트럼 외부에 위치하므로 해의 유일성을 강제한다.
• 디오판틴 주파수 벡터 $\alpha$ 와 매끄러운 $U$ 를 가진 준주기 포텐셜의 경우, 거의 모든 $E \in \Sigma_{\rm ac}$ 에 대해 블로흐-플로케 상태의 존재가 보장되며, 이는 약한 불순물 조건 하에서 스펙트럼 안정성을 보장한다.
• $n(E) \equiv m \cdot \alpha \mod \mathbb{Z}$ 를 만족하는 에너지 $E$ 의 집합은 가чет수이며, $\Sigma_{\rm ac}$ 는 양의 르베그 측도를 가지므로 거의 모든 $E \in \Sigma_{\rm ac}$ 는 이 공진 조건을 피한다.
• ${\widehat{H}}(\theta)$ 의 절대 연속 스펙트럼은 약한 불순물 조건 하에서도 안정적이며, 그 스펙트럼은 $\sigma_{\rm ac}(\widehat{H}(\theta)) = \sqrt{K} \, \Sigma_{\rm ac}$ 를 만족한다. 여기서 $\Sigma_{\rm ac}$ 는 $\{ E : \gamma(E) = 0 \}$ 의 본질적 폐쇄이다.