[논문 리뷰] Persistent Markov partitions for rational maps

Mary Rees|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리만 구면 내의 유한한 그래프를 위상적으로 변형하여 반복적으로 그의 역상으로 매핑되도록 함으로써, 비하이퍼볼릭인 경우를 포함한 유리 함수에 대해 지속 가능한 마르코프 분할을 구성한다. 주요 기여는 이러한 분할을 허용하는 유리 함수의 집합이 매개변수 공간에서 열려 있으며, 단일 하이퍼볼릭 성분에 국한되지 않음을 증명한 것이다. 이는 파라메트릭 공간에서 위상적 지속성을 보장하기 위해 람다-레마와 해석적 운동 기법을 사용하여 달성된다.

ABSTRACT

A construction is given of Markov partitions for some rational maps, which persist over regions of parameter space, not confined to single hyperbolic components. The set on which the Markov partition exists, and its boundary, are analysed.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 공간의 열린 영역에서 지속 가능한 마르코프 분할을 일반적으로 구성함으로써, 비하이퍼볼릭 케이스를 포함한 유리 함수에 대해 마르코프 분할을 개발하는 것.
• 이러한 분할이 하이퍼볼릭 성분 외에도 파라볼릭 지도를 포함하는 이웃 영역에서도 존재함을 보여주는 것.
• 분할이 존재하는 매개변수 집합의 위상적 구조, 특히 그 경계와 연결 성분을 분석하는 것.
• 해석적 운동과 중첩된 링을 통해 동역학 평면의 분할이 매개변수 공간의 대응 분할로 올라가는 방식을 연결하는 것.
• 등각적 변형과 거리 제어를 통해 기존의 확장 지도 및 요코즈 퍼즐 결과를 비확장, 비하이퍼볼릭 유리 함수로 확장하는 것.

제안 방법

• 주어진 $ F_0 $ (주기적인 파투 성분의 합집합) 과 $ Z $ (파라볼릭 점 포함) 에 대해, $ \overline{\mathbb{C}} \setminus (F_0 \cup Z) $ 내에 삼차, 조각별 $ C^1 $ 그래프 $ G_0 $ 를 구성한다.
• $ \lambda $-레마를 사용하여 $ \overline{\mathbb{C}} $ 의 위상변형을 구성하여, $ G_0 $ 를 새로운 그래프 $ G' $ 로 매핑함으로써, 충분히 큰 $ N $ 에 대해 $ G' \subset f^{-N}(G') $ 가 되도록 하는 것.
• 위상변형이 항등사상에 $ \varepsilon $-근접하고, $ F_0 \cup Z $ 를 고정하며, 유한한 파투 성분 내에서만 지지되는 것을 보장한다.
• $ G $ 를 $ \bigcup_{i=0}^{N-1} f^{-i}(G') $ 에 $ \varepsilon' $-근접한 영역 내에 정의하여, 위상적 구조를 유지하고 $ G \subset f^{-1}(G) $ 가 되도록 하는 것.
• 마르코프 분할 $ \mathcal{P} $ 는 $ \overline{\mathbb{C}} \setminus G $ 의 연결 성분의 클로저로 정의되며, 각 성분이 최대 하나의 주기적 파투 성분을 포함한다.
• 매개변수 공간에 해석적 운동 기법을 적용하여, 분할을 허용하는 지도의 집합이 열려 있으며, 각 $ V(\underline{Q}, g_0) $ 가 싱글턴임을 보여, 유일성과 연속성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라볼릭 점이 존재하는 경우에도 매개변수 공간의 열린 영역에서 지속 가능한 마르코프 분할을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고정된 마르코프 분할을 허용하는 유리 함수의 집합이 전체 매개변수 공간에서 열려 있으며, 하이퍼볼릭 성분을 초월하는가?
• RQ3 마르코프 분할을 허용하는 지도 집합의 경계는 어떻게 행동하며, 어떤 위상적 구조를 갖는가?
• RQ4 마르코프 그래프에 의한 구면의 동역학적 분할이 매개변수 공간으로 올라가서 대응 분할을 이룰 수 있는가?
• RQ5 $ \lambda $-레마는 매개변수 가중치 가중치에서 그래프와 그에 따른 분할의 위상적 지속성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이 방법으로 구성된 마르코프 분할을 허용하는 유리 함수의 집합은 전체 유리 함수 공간에서 열려 있다.
• 해당 열린 영역이 적어도 하나의 파라볼릭 주기 점을 가진 지도를 포함하면, 그 집합은 단일 하이퍼볼릭 성분에 포함되지 않는다.
• 그래프 $ G_0 $ 를 $ G' $ 로 매핑하는 위상변형이 항등사상에 $ \varepsilon $-근접하고, $ F_0 \cup Z $ 를 고정하며, 유한한 파투 성분 내에서만 지지되는 것으로 만들 수 있음을 보장한다.
• 결과적으로 얻어진 그래프 $ G $ 는 $ \bigcup_{i=0}^{N-1} f^{-i}(G') $ 에 $ \varepsilon' $-근접한 영역에 위치하며, 분할의 위상적 구조를 유지한다.
• 각 $ \underline{Q} \in \mathcal{Q} $ 에 대해, 집합 $ V(\underline{Q}, g_0) $ 는 싱글턴이며, 이는 매개변수에 따라 달라지는 분할의 유일성과 연속성을 의미한다.
• $ \overline{V(\underline{Q}, g_0)} $ 의 여집합이 $ V(G(g_0), g_0) $ 내에 정확히 하나의 성분을 가지며, 이는 매개변수 공간 분할에서 위상적 일致성을 보장한다.