[논문 리뷰] Perturbation determinants and trace formulas for singular perturbations

M. M. Malamud, Hagen Neidhardt|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 31.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 삼중법 프레임워크를 사용하여, 닫힌 대칭 연산자의 적절한 확장 쌍과 같은 특이 섭동—특히 크레인의 섭동 행렬식 및 트레이스 공식 이론을 특이 섭동으로 확장한다. 일반화된 섭동 행렬식은 추상적 웨일 함수와 거의 해법적 확장을 위한 특성 함수를 통해 도입되며, 자기수반, 소산성 및 기타 확장 쌍에 대한 트레이스 공식이 유도된다. 소산성 시스템에 대한 새로운 결과와 미분 연산자에의 응용이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We use the boundary triplet approach to extend the classical concept of perturbation determinants to a more general setup. In particular, we examine the concept of perturbation determinants to pairs of proper extensions of closed symmetric operators. For an ordered pair of extensions we express the perturbation determinant in terms of the abstract Weyl function and the corresponding boundary operators. A crucial role in our approach plays so-called almost solvable extensions. We obtain trace formulas for pairs of self-adjoint, dissipative and other pairs of extensions and express the spectral shift function in terms of the abstract Weyl function and the characteristic function of almost solvable extensions. We emphasize that for pairs of dissipative extensions our results are new even for the case of additive perturbations. In this case we improve and complete some classical results of M.G. Krein for pairs of self-adjoint and dissipative operators. We apply the main results to ordinary differential operators and to elliptic operators as well.

연구 동기 및 목표

• 정규 연산자 쌍에서 특이 연산자 쌍으로 크레인의 섭동 행렬식 이론을 일반화하는 것, 특히 대칭 연산자의 서로 다른 적절한 확장을 포함한 쌍에 대해.
• 추상적 경계 삼중법을 활용하여 특이 섭동의 맥락에서 트레이스 공식과 스펙트럼 이동 함수의 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존 고전 이론이 부족하거나 적용 불가능한 소산성 확장에 대해 새로운 결과를 확립하는 것.
• 이론을 실제 연산자—일반 및 타원 미분 연산자 포함—에 적용하는 것.
• 거의 해법적 확장을 위한 웨일 함수와 특성 함수를 통해 스펙트럼 이동 함수를 특성화하는 것.

제안 방법

• 보조 힐베르트 공간과 경계 사상 Γ₀, Γ₁를 사용하여 대칭 연산자의 확장을 경계 삼중법 접근을 통해 표현한다.
• 추상적 웨일 함수 M(λ)와 거의 해법적 확장을 위한 특성 함수를 통해 확장 쌍의 섭동 행렬식을 정의한다.
• 크레인 유형의 해석 함수 공식을 사용하여 해석 함수의 차이와 웨일 함수, 경계 연산자 간의 관계를 설정한다.
• 기능 해석학과 H∞-기능 해석학을 활용하여 상반평면 내에서 섭동 행렬식의 해석성 및 트레이스 클래스 성질을 확립한다.
• 섭동 행렬식의 로그 도함수를 적분하여 트레이스 공식을 도출하고, 이를 스펙트럼 이동 함수와 연결한다.
• 명시적 경계 조건과 특성 함수를 통해 스투름-리우빌 및 이차 타원 연산자에 이론을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 연산자 쌍에서 특이 연산자 쌍, 예를 들어 대칭 연산자의 서로 다른 적절한 확장 쌍으로 고전적 섭동 행렬식 개념을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 거의 해법적 확장을 위한 섭동 행렬식 표현에서 추상적 웨일 함수와 특성 함수의 역할은 무엇인가?
• RQ3 자기수반, 소산성, m-축적 확장 쌍에 대해 스펙트럼 이동 함수의 트레이스 공식은 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 이러한 결과는 소산성 연산자에 대해 기존 크레인의 고전 결과를 어떻게 보완하거나 완성하는가?
• RQ5 추상적 프레임워크는 스투름-리우빌 및 타원 연산자와 같은 구체적 미분 연산자에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 경계 삼중법을 사용하여 특이 확장 쌍에 대한 새로운 일반화된 섭동 행렬식을 도입하였으며, 이는 해석 함수의 차이가 트레이스 클래스가 아니어도 유효하다.
• 자기수반 확장 쌍의 경우, 스펙트럼 이동 함수는 웨일 함수에 대한 섭동 행렬식의 로그 도함수로 표현된다.
• 소산성 확장의 경우, 기존 크레인의 고전 결과를 확장하고 보완하는 새로운 트레이스 공식을 도출하였으며, 특히 덧셈형 섭동의 경우에 유의미하다.
• 거의 해법적 확장을 위한 특성 함수는 섭동 행렬식과 스펙트럼 이동 함수 표현에서 중심적인 역할을 한다.
• 이론은 ℝ₊ 위의 행렬 스투름-리우빌 연산자, (0,b) 위의 스투름-리우빌 연산자, 경계가 컴acts인 이차 타원 연산자에 성공적으로 적용되었다.
• 표준 크레인 이론이 해석 함수 차이가 트레이스 클래스가 아니어서 실패할 경우에도 이 프레임워크를 통해 트레이스 공식을 도출할 수 있다.