[논문 리뷰] Perturbation of $l^1$-copies and measure convergence in preduals of von Neumann algebras

Hermann Pfitzner|arXiv (Cornell University)|2000. 03. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한한 충실한 정상적 추측을 가진 von Neumann 대수의 예대수에서 유계 수열의 측도 수렴을 특성화한다. 이는 그러한 수열이 측도에서 0으로 수렴하는 것과 모든 부분수열이 추가로 수렴하는 노름 부분수열 또는 거의 등거리적으로 $\ell^1$-복사본을 생성하는 부분수열을 가진다는 것 사이의 이unge를 증명하며, 비가환 $L^1$-공간에서 $\ell^1$-수열의 편항에 대한 고전 결과를 정량적 개선으로 제공한다.

ABSTRACT

Let L_1 be the predual of a von Neumann algebra with a finite faithful normal trace. We show that a bounded sequence in L_1 converges to 0 in measure if and only if each of its subsequences admits another subsequence which converges to 0 in norm or spans $l^1$ "almost isometrically". Furthermore we give a quantitative version of an essentially known result concerning the perturbation of a sequence spanning $l^1$ isomorphically in the dual of a C$^*$-algebra.

연구 동기 및 목표

• 유한한 충실한 정상적 추측 $\tau$를 가진 von Neumann 대수의 예대수에서 유계 수열의 측도 수렴을 특성화하는 것.
• 비가환 $L^1$-공간에서 $\ell^1$-수열에 대한 기존 결과를 정량적 편항 기준으로 확장하는 것.
• 거의 등거리 $\ell^1$-복사본과 노름 근사화를 사용한 측도 수렴의 함수해석학적 특성화를 수립하는 것.
• 직교 프로젝션과 편항 한계를 통한 C*-대수의 쌍대에서 $\ell^1$-수열의 구조를 일반화하는 것.

제안 방법

• 측도 수렴과 노름 수렴 또는 거의 등거리적으로 $\ell^1$를 생성하는 부분수열의 존재 사이의 등가성을 사용한다.
• 정리 2를 적용하여, von Neumann 대수의 예대수에서 $\ell^1$를 거의 등거리적으로 생성하는 임의의 수열은 서로 직교하는 함수항의 노름에서 근사되는 부분수열을 가짐을 보인다.
• 극분해와 프로젝션 기법을 활용하여 비가환 $L^1$-공간에서 편항의 노름을 제어한다.
• 수렴하는 $\varepsilon_n$과 $\delta_n$ 수열을 사용한 재귀적 구성 기법을 도입하여 $\ell^1$-수열의 거의 등거리 임bedding을 보장한다.
• Hahn-Banach 확장 기법을 적용하여 비단위 C*-대수의 함수항을 단위화로 확장할 때 노름과 절대값의 구조를 유지한다.
• 비가환 $L^1$-이론의 부등식, 특히 [21, III.4.7]과 [21, III.4.9]에서 유도된 결과를 사용하여 편항된 함수항의 노름을 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 von Neumann 대수의 예대수에서 유계 수열이 측도에서 0으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비가환 $L^1$-공간에서 $\ell^1$를 거의 등거리적으로 생성하는 수열은 무엇으로 특성화되는가?
• RQ3 일반적으로 $\ell^1$를 거의 등거리적으로 생성하는 수열은 서로 직교하는 함수항의 노름에서 근사될 수 있는가?
• RQ4 C*-대수의 쌍대에서 $\ell^1$-수열의 편항은 어떻게 행동하는가? 어떤 한계를 설정할 수 있는가?
• RQ5 직교 프로젝션과 양성 원소는 비가환 $L^1$-공간에서 함수항 근사화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한한 충실한 정상적 추측 $\tau$를 가진 von Neumann 대수 $\mathcal{N}$의 예대수 $\mathcal{N}_*$에서 유계 수열 $ (x_n) $이 $\tau$-측도에서 0으로 수렴하는 것은, 모든 부분수열이 추가로 수렴하는 노름 부분수열 또는 $\ell^1$을 거의 등거리적으로 생성하는 부분수열을 가진다는 것과 동치이다.
• 예대수 $\mathcal{N}_*$에서 $\ell^1$을 거의 등거리적으로 생성하는 유계 수열에 대해, 그 수열의 부분수열과 서로 직교하는 함수항의 수열이 존재하여, 부분수열이 그 직교 함수항 수열로 노름 수렴함을 보장한다.
• 측도 수렴과 거의 등거리 $\ell^1$-구조 사이의 등가는 비유계 수열의 경우에도 성립하며, 이 경우 (i) $\Leftrightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Leftrightarrow$ (iv)의 함의관계가 유지된다.
• C*-대수의 쌍대에서 $\ell^1$을 거의 등거리적으로 생성하는 임의의 수열은, $ (a_n), (b_n) $이 서로 직교하고 정규화된 양성 원소인 $ b_n \phi_{m_n} a_n $ 형태의 함수항으로 $\varepsilon$-근사가 가능하다.
• 증명은 정량적 편항 결과를 수립한다: 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해, 직교 프로젝션 $ s_l, t_l $이 존재하여 $ \| \phi_{m_l} - t_l \phi_{m_l} s_l \| \to 0 $이 되며, 이는 $\ell^1$-수열이 직교 수열로 노름 근사됨을 보장한다.
• 단위화를 통해 비단위 C*-대수로의 일반화가 가능하며, 이 경우 Hahn-Banach 확장에 의해 함수항의 노름과 절대값의 구조가 유지된다.