[논문 리뷰] Perturbation theory approaches to Anderson and Many-Body Localization: some lecture notes

Antonello Scardicchio, Thimothée Thiery|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 03.

Quantum many-body systems참고 문헌 33인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정방향 산란 근사(FWA)와 로케이터 전개를 사용하여 앤더슨 및 다체 국소화(MBL)를 페르투르베이션 방법으로 이해하기 위한 접근을 제시한다. 연산자 공간 국소화 다이어그램의 수렴성을 분석함으로써 MBL 상전이에 대한 임계 상호작용 강도를 유도하며, 이는 시스템의 연결성에 반비례하고 불순도 강도의 로그에 반비례하는 임계값 이하일 때 국소화가 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

These are lecture notes based on three lectures given by Antonello Scardicchio at the December 2016 Topical School on Many-Body-Localization organized by the Statistical Physics Group of the Institute Jean Lamour in Nancy. They were compiled and put in a coherent logical form by Thimothée Thiery.

연구 동기 및 목표

• FWA 기반의 다체 국소화(MBL) 분석을 위한 페르투르베이션 프레임워크를 개발하여 단일 입자 앤더슨 국소화의 방법을 확장한다.
• 국소적 보존량(LIOMs) 전개의 수렴 조건을 설정함으로써 연산자 공간 내 국소화가 보장되고, 이는 다체 스펙트럼 내 국소화로 이어진다.
• 도표 전개에서의 효과적 경로의 통계적 행동을 분석함으로써 MBL 전이에 대한 임계 상호작용 강도를 추정한다.
• 연산자 격자에서의 효과적 연결성 도입을 통해 전자 밀도와 유한 온도 효과를 포함함으로써 스펙트럼 내 이동 경계를 이끌어낸다.
• 고차원에서 비페르투르베이션 효과와 경계 기여가 페르투르베이션 기반 LIOM 구성에 미치는 영향을 명확히 한다.

제안 방법

• 다체 해밀토니안을 단순화하기 위해 정방향 산란 근사(FWA)를 사용하여 상호작용을 군집화된 연산자 공간 내 페르투르베이션으로 간주한다.
• 해결책에 대한 로케이터 전개 기법을 적용하여, 연산자 공간 내 효과적 경로 가중치 분포를 통해 수렴성을 분석한다.
• 연산자 간 효과적 상호작용을 꼬리가 두꺼운 분포를 가진 경로들의 합으로 모델링하고, 큰 경로 가중치의 확률을 추정한다.
• 최대 행렬 원소의 생존 확률이 열역학적 극한에서 유한하게 유지될 조건을 요구함으로써 국소화를 위한 임계 조건을 도출한다.
• 대규모 탈락 이론과 점근적 분석을 사용하여 도표 수와 경로 가중치 尾 확률을 추정한다.
• 전자 밀도를 고려하기 위해 $\mathcal{K}_{\text{eff}} = \nu(1-\nu)\mathcal{K}$ 를 도입하여 임계 상호작용 임계값을 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 보존량(LIOMs)에 대한 정방향 산란 근사(FWA)가 수렴하는 조건은 무엇이며, 이는 다체 국소화를 보장하는가?
• RQ2 MBL 전이에 대한 임계 상호작용 강도는 불순도 강도, 터널링 강도, 시스템 연결성에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 전자 밀도는 임계 상호작용 강도에 어떤 영향을 미치며, 이는 스펙트럼 내 이동 경계를 유도하는가?
• RQ4 비페르투르베이션 효과 또는 경계 기여는 고차원에서 페르투르베이션 기반 LIOM 구성의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 도표 전개에서의 효과적 경로의 통계적 성질을 사용하여 MBL 전이 점을 정확히 예측할 수 있는가?

주요 결과

• MBL 전이에 대한 임계 상호작용 강도는 $\lambda_c \simeq \frac{\sqrt{2\pi}}{2eC} \frac{1}{{\cal K}\log({\cal K})}$ 로 추정되며, 이는 연산자 격자 연결성 $\mathcal{K}$ 에 대해 역대수 로그 의존성을 보인다.
• LIOMs 전개가 수렴할 경우 연산자 공간 내 국소화가 보장되며, 이는 효과적 경로 가중치 분포가 지수보다 덜 꼬리가 두꺼운 경우에 해당한다.
• 전자 밀도를 $\mathcal{K}_{\text{eff}} = \nu(1-\nu)\mathcal{K}$ 를 통해 포함함으로써 밀도에 의존하는 임계 상호작용 강도를 도출하였으며, 이는 다체 이동 경계의 존재를 시사한다.
• 유도 과정은 경로 가중치 확률의 대규모 탈락 추정에 기반하며, 도표 수의 증가율이 尾 감쇠율과 균형을 이루는 경우에만 최대 행렬 원소의 생존 확률이 1로 수렴한다.
• 결과는 $W/g \to \lambda$ 와 $K \to (C/\sqrt{2\pi})\mathcal{K}$ 로 매핑할 때 베티 격자에서의 FWA 결과와 형식적으로 동일하며, 제한된 조건에서 접근의 타당성을 검증한다.
• 분석 결과는 고차원에서 경계 효과로 인해 페르투르베이션 기반 LIOM 구성이 실패할 수 있으며, 이는 국소 보존량의 더 정교한 정의가 필요함을 시사한다.