[논문 리뷰] Perturbation theory for the matrix square root and matrix modulus

Marcus Carlsson|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 02.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정칙 행렬의 경우 행렬 제곱근과 행렬 절댓값에 대한 1차 섭동 공식을 개발하며, 비정칙 행렬로까지 확장된 Daleckii-Krein 정리의 결과를 제시한다. 행렬이 비정칙일 때 주요 행동을 기술하는 데 사용되는 Schur 보조행렬 기반 비선형 1차 항을 도입하였고, 오차 한계는 $O(\|E\|^{3/2})$이며, Fréchet 미분 가능성에 실패하는 경우에도 계산 가능한 명시적 근사식을 제공한다.

ABSTRACT

We provide first order perturbation formulas for the matrix square root (in the positive semi-definite case) and the matrix modulus (in the general case). The results are new for singular matrices, and extend previously known Fréchet differentiability formulas provided by the Daleckii-Krein theorem.

연구 동기 및 목표

• 표준 Fréchet 미분 가능성에 실패하는 비정칙 행렬으로의 행렬 제곱근 및 행렬 절댓값에 대한 섭동 이론을 확장하는 것. 이는 $t \mapsto \sqrt{t}$가 $t=0$에서 미분 가능하지 않기 때문이다.
• 스펙트럼 기저에서 Schur 보조행렬 분해를 사용하여, 행렬 $A$가 비정칙일 때 $\sqrt{A+E}$ 및 $|A+E|$에 대한 명시적 1차 근사식을 유도하는 것.
• 모든 $s > 1/3$에 대해 $A \mapsto A^s$에 대해 일반적인 프레임워크를 수립하여, 행렬 $A$가 비정칙일 경우 1차 항이 비선형이지만 잘 정의된 Schur 보조행렬에 국한됨을 보여주는 것.
• 행렬 절댓값 섭동에 대해 계산 가능한 공식을 제공하여 비선형 성분을 $|P_0 E P_0|$ 형태로 분리함으로써 실용적인 계산이 가능하도록 하는 것. 여기서 $P_0$는 $\ker A$에 대한 사영이다.

제안 방법

• 스펙트럼 기저에서 행렬 $A$의 분해를 사용하여 비정칙 경우의 $\sqrt{A+E}$에 대한 1차 섭동 공식을 유도하며, 선형 Daleckii-Krein 항을 비선형이지만 명시적인 표현으로 대체한다.
• 비정칙 경우에 대한 일반화를 위해, 비정칙이 아닌 경우에 대해 $[\sqrt{\cdot}, \alpha]_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{\alpha_i} + \sqrt{\alpha_j}}$를 정의하고, 수정된 Schur 보조행렬 구조를 통해 비정칙 경우로 확장한다.
• 비선형 항을 다루기 위해 Wihler 부등식과 행렬 제곱근 섭동 이론을 적용하여, 행렬 절댓값 $|A+E| = \sqrt{(A+E)^* (A+E)}$의 섭동을 블록으로 분해한다.
• 스펙트럼 분해 $A = U \Lambda_\alpha U^*$를 사용하고, $\hat{E} = U^* E U$를 정의한 후, $\hat{E}$를 행렬 $A$의 비영인 고유값과 영인 고유값에 대응하는 블록으로 분할한다.
• 정리 3.1(모든 $s > 1/3$에 대해 행렬 제곱근의 섭동에 대한)을 $(A+E)^* (A+E)$의 블록 행렬 형태에 적용하여, 오차가 $O(\|E\|^{3/2})$인 1차 근사식을 도출하며, 이는 비정칙 경우에서 최적임을 보인다.
• 행렬 절댓값 $|A+E|$의 1차 항에서 유일한 비선형 성분은 $|P_0 E P_0|$임을 확인하며, 여기서 $P_0$는 $\ker A$에 대한 사영이다. 이로 인해 전체 표현은 계산 가능하고 체계적인 구조를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Fréchet 도함수가 존재하지 않는 비정칙 행렬에 대해, 행렬 제곱근에 대한 1차 섭동 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 행렬 $A$가 비정칙일 때 $\sqrt{A+E}$의 주요 항의 구조는 무엇이며, 이를 계산 가능한 비선형 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ3 비정칙 경우에서도 명시적이고 계산 가능한 1차 근사식을 유지할 수 있도록, 행렬 절댓값 $|A+E|$의 섭동을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 비정칙 행렬의 섭동 전개에서 오차 한계가 반드시 $O(\|E\|^2)$보다 악화되어야 하는가? 그리고 $O(\|E\|^{3/2})$로 개선할 수 있는가?
• RQ5 행렬 $A$의 핵심(영공간)은 비선형 섭동 성분을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 $|P_0 E P_0|$ 형태로 분리될 수 있는가?

주요 결과

• 비정칙 행렬 $A$에 대해, $\sqrt{A+E}$의 1차 섭동은 $\sqrt{A} + U(\Xi \circ \hat{E}_{\text{schur}})U^* + O(\|E\|^{3/2})$로 주어지며, 여기서 $\Xi$는 수정된 커널 행렬이고 $\hat{E}_{\text{schur}}$는 $E$의 Schur 보조행렬이다. 이로 인해 비선형이지만 계산 가능한 항이 된다.
• 행렬 제곱근 섭동의 오차 항은 $O(\|E\|^{3/2})$로 유계이며, 이는 비정칙 경우에서 최적이며, 영점에서의 비미분 가능성으로 인해 실패하는 $O(\|E\|^2)$의 오차 bound보다 개선된 것이다.
• 행렬 절댓값 $|A+E|$의 1차 근사식은 $|A| + V(\Xi_{\sigma}^\alpha \circ \hat{Z})V^* + O(\|Z\|^{3/2})$로 주어지며, 비선형 성분은 $|P_0 E P_0|$로 국한되며, 여기서 $P_0$는 $\ker A$에 대한 사영이다. 이로 인해 명시적 계산이 가능하다.
• 이 이론은 모든 $s > 1/3$에 대해 $A \mapsto A^s$로 확장 가능하며, $\ker A \neq \{0\}$일 경우 1차 항 $L(E)$는 비선형이지만 Schur 보조행렬을 통해 여전히 계산 가능하다.
• 행렬 절댓값 섭동의 비선형 항은 오직 $|P_0 E P_0|$에서 기인하며, 나머지 섭동은 Schur 보조행렬의 선형적 성질을 따른다. 이는 무한차원에서의 균일 유계성 부족을 설명한다.
• 이 결과는 기존에 오랫동안 해결되지 않았던 행렬 섭동 이론의 문제를 해결하며, 무한차원에서 리프시츠 연속성의 실패가 있음에도 불구하고, 행렬 절댓값에 대해 구체적이고 명시적이며 계산 가능한 1차 근사식을 제공한다.