[논문 리뷰] Perturbations of discrete lattices and almost periodic sets

S. Favorov, Ye. Kolbasina|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 30.

advanced mathematical theories참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 ℝᵖ 내의 전랭크 격자에 대한 거의 주기적 편항을 통해 거의 주기적인 이산 집합을 구성하는 프레임워크를 제안하며, 모든 일차원 거의 주기적인 이산 집합이 산술적 등차수열의 거의 주기적 편항임을 증명한다. 또한, 분포의 관점에서 거의 주기적인 signed 측도는 약한 거의 주기성이 아닐 수 있음을 보이며, 양의 부분과 음의 부분이 개별적으로 거의 주기적이지 않은 명시적 예를 구성함으로써 이론 내에서 근본적인 비대칭성을 드러낸다.

ABSTRACT

A discrete set in the $p$-dimensional Euclidian space is {\it almost periodic}, if the measure with the unite masses at points of the set is almost periodic in the weak sense. We propose to construct positive almost periodic discrete sets as an almost periodic perturbation of a full rank discrete lattice. Also we prove that each almost periodic discrete set on the real axes is an almost periodic perturbation of some arithmetic progression. Next, we consider signed almost periodic discrete sets, i.e., when the signed measure with masses $\pm1$ at points of a discrete set is almost periodic. We construct a signed discrete set that is not almost periodic, while the corresponding signed measure is almost periodic in the sense of distributions. Also, we construct a signed almost periodic discrete set such that the measure with masses +1 at all points of the set is not almost periodic.

연구 동기 및 목표

• ℝᵖ 내의 전랭크 격자에 대한 거의 주기적 편항을 이용하여 양의 거의 주기적인 이산 집합을 체계적으로 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 모든 ℝᵖ 내의 거의 주기적인 이산 집합이 격자의 편항임을 증명하는 열린 문제를 해결하기 위해, 일차원에서 이러한 집합들이 산술적 등차수열의 편항임을 보이는 것.
• 특히, 양의 및 음의 부분 간의 차이를 고려하여 signed 거의 주기적인 이산 집합의 행동을 조사하는 것.
• 측도의 약한 거의 주기성과 분포의 관점에서의 거의 주기성 간의 관계를 명확히 하는 것, 특히 signed 측도에 대해.
• L이 격자이고 E가 유한 집합일 때 L + E 형태의 집합보다 거의 주기적인 이산 집합의 클래스가 엄밀히 더 크다는 것을 보여주기 위해 비자명한 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 측도의 거의 주기성 개념을 사용: Borel 측도 μ가 약한 의미에서 거의 주기적이라는 것은, 모든 컴acts지지 연속 함수 φ에 대해 ∫φ(x+t)dμ(t) 가 x에 대해 거의 주기적이라는 것.
• 정리 3의 기하학적 기준을 적용: 다중 이산 집합 A가 거의 주기적임은, 모든 n에 대해 |aₙ + τ - aσ(n)| < ε 를 만족하는 전단사 σ가 존재하는 ε-거의 주기 τ의 집합이 ℝᵖ 내에서 상대적으로 밀도가 높은 경우에 한하여 성립한다.
• 짝수이면서 0이 아닌 정수 n에 대해, aₙ⁺ = n + 1/(α(n)+1)² 와 aₙ⁻ = n - 1/(α(n)+1)² 를 점으로 배치하고, 양쪽에 모두 α(n)의 중복도를 부여함으로써 signed 이산 집합 A를 구성한다.
• 거의 주기적 함수와 분포의 이론을 활용하여, φ * μ_A 가 모든 C∞ 함수 φ(작은 지지집합을 가짐)에 대해 x에 대해 거의 주기적임을 보이며, μ_A 가 균일 유계 조건 (3)을 만족하지 못하더라도 성립함을 보인다.
• Kronecker 정리를 사용하여, 거의 주기적인 성분을 가진 사상 F: ℝᵖ → ℝᵖ 에 대해, 구성 요소들의 공통 ε-거의 주기 집합이 상대적으로 밀도가 높다는 것을 증명한다.
• 정리 1의 밀도 및 변동 조건을 적용하여, 거의 주기적 측도와 그에 관련된 이산 집합의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 ℝᵖ 내의 거의 주기적인 이산 집합은 전랭크 격자의 거의 주기적 편항으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 모든 일차원 거의 주기적인 이산 집합은 산술적 등차수열의 거의 주기적 편항인가?
• RQ3 signed 측도가 분포의 관점에서 거의 주기적일 수 있지만, 약한 거의 주기성이 아닐 수 있는가?
• RQ4 signed 거의 주기적인 이산 집합의 양의 부분과 음의 부분이 반드시 거의 주기적이어야 하는가?
• RQ5 幾乎 주기적인 이산 집합의 클래스는 L이 격자이고 E가 유한 집합일 때 L + E 형태의 집합보다 엄밀히 더 큰가?

주요 결과

• 모든 ℝ¹ 내의 거의 주기적인 이산 집합은 어떤 산술적 등차수열의 거의 주기적 편항이다.
• 분포의 관점에서 거의 주기적이지만 약한 거의 주기성이 아닌, 균일 유계 조건 (3)을 위반하는 signed 측도를 갖는 signed 이산 집합이 존재한다.
• 양의 부분 A⁺과 음의 부분 A⁻이 거의 주기적이지 않은 signed 거의 주기적인 이산 집합 A가 존재함을 보이며, 이는 signed 측도의 거의 주기성이 구성 요소의 거의 주기성을 유도하지는 않음을 보여준다.
• 구성된 예에서의 양의 점과 음의 점을 합친 양의 이산 집합은 분포의 관점에서 거의 주기적인 signed 측도가 존재하더라도 거의 주기적이지 않다.
• 양의 거의 주기적인 이산 집합의 클래스는 약한 의미에서 거의 주기적인 측도를 갖는 집합과 정확히 일치하지만, 이 등가성은 signed 측도에서는 성립하지 않는다.
• 이 건설은 측도가 균일 유계 조건 (3)을 만족하지 못하더라도 다중 이산 집합의 ε-거의 주기 집합이 상대적으로 밀도가 높을 수 있음을 보이며, 분포적 거의 주기성과 약한 거의 주기성 간의 핵심적 차이를 드러낸다.