[논문 리뷰] Perturbative expansion in gauge theories on compact manifolds

David Adams|arXiv (Cornell University)|1996. 02. 14.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계가 없는 컴팩트 리만 다성분에서 양성계 이론의 함수적 적분에 대한 정련된 섭동 전개 방법을 개발한다. 배경 장을 작동 함수의 임계점으로 선택한 공변 배경 장 게이지 조건을 사용하며, 위상적으로 자명한 게이지 변환으로 제한하고 잔류 게이지 대칭성을 고려함으로써, 임계점이 게이지 변환에 대해 고립되어 있을 경우 적분의 적분 수렴성을 보장한다. 이는 $S^3$ 및 렌즈 공간과 같은 다성분에서 초전도 이론의 메트릭에 독립적인 섭동 전개를 가능하게 한다.

ABSTRACT

A geometric formal method for perturbatively expanding functional integrals arising in quantum gauge theories is described when the spacetime is a compact riemannian manifold without boundary. This involves a refined version of the Faddeev-Popov procedure using the covariant background field gauge-fixing condition with background gauge field chosen to be a general critical point for the action functional (i.e. a classical solution). The refinement takes into account the gauge-fixing ambiguities coming from gauge transformations which leave the critical point unchanged, resulting in the absence of infrared divergences when the critical point is isolated modulo gauge transformations. The procedure can be carried out using only the subgroup of gauge transformations which are topologically trivial, possibly avoiding the usual problems which arise due to gauge-fixing ambiguities. For Chern-Simons gauge theory the method enables the partition function to be perturbatively expanded for a number of simple spacetime manifolds such as $S^3$ and lens spaces, and the expansions are shown to be formally independent of the metric used in the gauge-fixing.

연구 동기 및 목표

• 경계가 없는 컴팩트 다성분에서의 섭동 게이지 이론에서 게이지 고정의 모호성으로 인한 적외선 발산 문제를 해결하기 위해.
• 시공간이 경계가 없는 컴팩트 리만 다성분일 때 양성계 이론의 함수적 적분을 체계적으로 전개하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 특히 초전도 이론에서 메트릭에 의존하지 않는 섭동 전개를 보장하기 위해.
• 작동 함수의 임계점을 고정하는 게이지 변환의 모호성을 제거하기 위해 위상적으로 자명한 변환으로 제한함으로써.
• 위상적으로 비자명한 시공간, 예를 들어 $S^3$ 및 렌즈 공간에서 분할 함수를 섭동적으로 계산하기 위한 형식적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 작동 함수의 임계점(즉, 고전적 해)으로 선택된 배경 게이지 장을 사용하는 공변 배경 장 게이지 조건을 채택한다.
• 배경 장을 유지하는 잔류 게이지 대칭성을 고려하여 패스 적분에서의 과도한 수를 방지하기 위해 패드레-포포프 절차를 정련한다.
• 큰 게이지 변환으로 인한 모호성을 제거하기 위해 게이지 군을 위상적으로 자명한 변환으로 제한한다.
• 기하 기법을 사용하여 게이지 고정 이론의 영 모드와 모듈리 문제를 다루며, 섭동 전개의 일관성을 확보한다.
• 이 방법을 $S^3$ 및 렌즈 공간에서의 초전도 이론에 적용하여, 섭동 급수의 형식적 메트릭 독립성을 입증한다.
• 개선된 게이지 고정 조건과 배경 장 대칭성을 충족하는 수정된 전파자와 꼬리로 구성된 파인먼 다이어그램을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 없는 컴팩트 다성분에서의 게이지 이론 섭동 전개를 어떻게 적외선 발산 없이 수행할 수 있는가?
• RQ2 패스 적분 양자화의 맥락에서 작동 함수의 임계점에서의 잔류 게이지 대칭성의 역할은 무엇인가?
• RQ3 메트릭 의존성이 없는 $S^3$ 및 렌즈 공간에서의 초전도 이론에 대해 일관된 섭동 전개를 구성할 수 있는가?
• RQ4 위상적으로 비자명한 게이지 변환이 패드레-포포프 행렬식과 그로 인한 패스 적분에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 게이지 고정에 사용된 메트릭에 의존하지 않는 섭동 분할 함수를 어느 정도까지 독립적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 배경 장이 게이지 변환에 대해 고립되어 있을 경우, 정련된 패드레-포포프 절차가 적외선 발산을 성공적으로 제거한다.
• $S^3$ 및 렌즈 공간에서의 초전도 이론 섭동 전개는 형식적으로 게이지 고정 조건에 사용된 메트릭에 영향을 받지 않는다.
• 게이지 군을 위상적으로 자명한 원소로 제한함으로써 큰 게이지 변환으로 인한 문제를 피한다.
• 분할 함수는 오직 호모토플리히 자명한 게이지 변환의 부분군만을 사용하여 섭동적으로 전개할 수 있다.
• 배경 장의 잔류 게이지 대칭성과 관련된 영 모드를 올바르게 고려함으로써, 패스 적분의 일관성이 보장된다.
• 정련된 형식론에서 수정된 파인먼 다이어그램은 개선된 게이지 고정 조건 하에서 전파자와 꼬리의 올바른 구조를 반영한다.