[논문 리뷰] Perturbative sigma models, elliptic cohomology and the Witten genus

Daniel Berwick-Evans|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 25인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 2|1차원 초 유클리드 필드 이론을 사용하여 복소계수를 가진 타원 코homology에 대한 미분 코호몰로지 모델을 구축한다. 페르투르바티브 양자화와 해석적 방법을 통해 2차원 양자장이론을 위상적 모듈러 형식(TMF)⊗ℂ와 연결하고, 위튼 특성수를 고전적 진공의 모듈리 공간 위의 선다발의 허수 섹션으로 실현한다.

ABSTRACT

We provide a differential cocycle model for elliptic cohomology with complex coefficients and use analytic methods to construct a cocycle representative for the Witten class in this language. Our motivation stems from the conjectural connection between 2-dimensional field theories and elliptic cohomology originally due to G. Segal and E. Witten. The specifics of our constructions are informed by the work of S. Stolz and P. Teichner on super Euclidean field theories and K. Costello's construction of the Witten genus using perturbative quantization. As a warm-up, we prove analogous results for supersymmetric quantum mechanics and K-theory with complex coefficients.

연구 동기 및 목표

• 2|1차원 초 유클리드 필드 이론을 사용하여 복소계수를 가진 타원 코호몰로지에 대한 미분 코호몰로지 모델을 수립하기.
• 해석적 방법과 페르투르바티브 양자화를 사용하여 이 모델에서 위튼 클래스의 대표자를 구성하기.
• 1|1차원의 경우에서 페르투르바티브 양자화가 아티야-사이먼스 지수 정리에 의해 Â-특성수를 유도하는 것을 2|1차원 설정으로 일반화하기.
• 2|1-시그마 모델의 고전적 진공의 모듈리 공간 위의 선다발의 허수 섹션으로서 위튼 특성수를 식별하기.
• 위튼 클래스와 고전적 진공 스택 위의 체적 형식을 이용해 인덱스 사상으로부터 TMF⊗ℂ의 잘못된 방향 사상의 기하적 실현을 제공하기.

제안 방법

• 논문은 2|1차원 토러스에서 다양체 X로의 사상 중 ℝ⁰|¹를 통과하는 것들로 구성된 고전적 진공의 슈퍼 스택 Φ₀²|¹(X)를 구성한다. 이는 초대칭 시그마 모델의 영에너지 해를 나타낸다.
• Φ₀²|¹(X) 위에 선다발 ω¹/²를 정의하며, 그 허수 섹션은 약한 모듈라 형식과 대응하고, 텐서 거듭제곱은 더 높은 차수의 모듈라 형식을 표현한다.
• X에 리만 기하학적 구조를 부여함으로써, Φ₀²|¹(X) 위에 가속도 연산자 ΔX²|¹의 가중가족을 구성한다. 이는 리만 기하학적 접속의 곡률 2형식을 포함하는 라플라스 연산자의 변형이다.
• ΔX²|¹의 각각의 섹션에 대한 ζ-행렬식은 Φ₀²|¹(X) 위의 함수를 정의하지만, 반복적 허수 스케일링에 대해 불변이 아니다. 유리수 스트링 구조가 이를 수정하여 잘 정의된 미분 코호몰로지 계수를 얻는다.
• 수정된 행렬식은 Φ₀²|¹(X) 위의 ωᵏ/²의 허수 섹션을 유도하며, 이는 X의 위튼 클래스로 식별된다.
• 체적 형식에 대해 위튼 클래스와 총 체적의 역수를 곱한 것을 통합하여 인덱스 사상을 구성함으로써, 이는 이동된 차수의 모듈라 형식으로의 사상이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2|1차원 초 유클리드 필드 이론과 고전적 진공을 사용하여 TMF⊗ℂ에 대한 미분 코호몰로지 모델을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 페르투르바티브 양자화를 통한 2|1-시그마 모델의 해석적 실현은 위튼 특성수로 어떻게 나타나는가?
• RQ3 페르투르바티브 2|1-시그마 모델은 고전적 진공 스택 위의 선다발의 허수 섹션으로서 위튼 특성수를 어떻게 재현하는가?
• RQ4 유리수 스트링 구조는 ζ-행렬식을 어떻게 수정하여 위튼 클래스의 잘 정의된 코호몰로지 계수를 얻는가?
• RQ5 ωᵏ/²의 섹션에 대해 구성된 인덱스 사상은 TMF⊗ℂ의 잘못된 방향 사상과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Φ₀²|¹(X) 위에서 ωᵏ/²의 허수 섹션의 층은 약한 모듈라 형식을 값으로 가지는 닫힌 미분형식의 층과 동형이며, 이는 TMF⊗ℂ에 대한 미분 코호몰로지 모델을 실현한다.
• 유리수 스트링 구조가 ΔX²|¹의 ζ-행렬식을 수정함으로써, 다양체 X의 위튼 클래스는 Φ₀²|¹(X) 위의 ωᵏ/²의 허수 섹션으로 실현된다.
• 위튼 클래스로 체적 형식을 스케일링한 고전적 진공 스택 Φ₀²|¹(X)의 총 상대 체적은 X의 위튼 특성수와 같다.
• 체적 형식과 위튼 클래스에 대해 통합하여 구성된 인덱스 사상은 TMF⊗ℂ의 잘못된 방향 사상으로 식별되며, 국소 지수 정리와 일관된다.
• 1|1차원의 경우에서 페르투르바티브 양자화가 아티야-사이먼스 지수 정리에 의해 Â-특성수를 유도하는 것을 2|1차원 설정으로 일반화하였으며, 이 경우 위튼 특성수는 고차원의 유사물이다.
• Φ₀²|¹(X) 위에서 ωᵏ/²의 허수 섹션은 ⊕ᵢⱼ Ωᵢᶜˡ(−)⊗MFʲ와 동형인 층을 이룬다. 이는 호프킨스-식거의 의미에서 TMF⊗ℂ에 대한 미분 코호몰로지 모델을 확인한다.