[논문 리뷰] Perverse coherent sheaves on blow-up. II. wall-crossing and Betti numbers formula

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 사영 표면의 한 점에서의 블로우업에서 휘어진 코herent sheaf의 모듈리 공간을 연구하며, 예외적 인자에 의한 토글링에 따른 벽-교차 현상과 가상 허드지 수의 공식을 수립한다. 이 모듈리 공간들이 원래 표면의 모듈리 공간들과 블로우업의 일반적인 모듈리 공간들 사이에서 벽-교차를 통해 연결됨을 증명하며, 분할과 생성 함수를 이용한 베텨 수의 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

This is the second of series of papers studyig moduli spaces of a certain class of coherent sheaves, which we call stable perverse coherent sheaves, on the blow-up of a projective surface at a point. The followings are main results of this paper: a) We describe the wall-crossing between moduli spaces caused by twisting of the line bundle associated with the exceptional divisor. b) We give the formula for virtual Hodge numbers of moduli spaces of stable perverse coherent sheaves. Moreover we also give proofs of the followings which we observed in a special case in arXiv:0802.3120: c) The moduli space of stable perverse coherent sheaves is isomorphic to the usual moduli space of stable coherent sheaves on the original surface if the first Chern class is orthogonal to the exceptional divisor. d) The moduli space becomes isomorphic to the usual moduli space of stable coherent sheaves on the blow-up after twisting by sufficiently large negative power of the line bundle associated with the exceptional curve. Therefore usual moduli spaces of stable sheaves on the blow-up and the original surfaces are connected via wall-crossings.

연구 동기 및 목표

• 블로우업에서의 휘어진 코herent sheaf의 모듈리 공간에서의 벽-교차 행동을 기술하는 것.
• 이 모듈리 공간들의 가상 허드지 수(따라서 베텰 수)에 대한 공식을 유도하는 것.
• 1차 코hom올로지 클래스가 예외적 인자에 수직일 때, 안정적인 휘어진 코herent sheaf의 모듈리 공간이 원래 표면에서의 일반적인 모듈리 공간과 동형임을 증명하는 것.
• 충분히 큰 m에 대해 $\mathcal{O}(-mC)$에 의한 토글링 이후, 모듈리 공간이 블로우업 $\widehat{X}$에서의 일반적인 모듈리 공간과 동형이 됨을 보이는 것.
• 벽-교차 현상에 의해 원래 표면과 블로우업의 모듈리 공간들 사이에 완전한 연결 고리를 확립하는 것.

제안 방법

• 다른 $\widehat{M}^{m}(c)$ 사이를 연결하는 분리 가능 사상 $\xi_m$ 과 $\xi_m^+$ 를 갖는 중간 모듈리 공간 $\widehat{M}^{m,m+1}(c)$ 를 구성하는 것.
• 토루 고정점 기법과 고정점에서의 접선 공간의 무게 공간 분해를 이용하여 음의 무게 공간의 차원을 계산하는 것.
• 특수한 $\lambda(t) = (t^{N_1}, t^{N_2}, t^{n_1}, \dots, t^{n_r})$ 형태의 일파rameter 부분군 작용을 사용하여 등변 구조를 분석하는 것. 여기서 $N_2 \gg n_1 > \cdots \gg N_1 > 0$이다.
• $\operatorname{Ext}^1(E_\alpha, E_\beta(-\ell_\infty))$ 의 기여를 계산하며, 이는 $e_\beta e_\alpha^{-1}$ 에 의해 결정되는 무게를 갖는다. 고정점 성분 전체에 걸쳐 합산하는 것.
• 분할과 $q$-Pochhammer 기호를 이용한 생성 함수를 통해 모듈리 공간의 Poincaré 급수에 대한 공식을 도출하는 것.
• $\widehat{M}^m(c)$ 에 적용하기 위해 $m_\alpha \to m_\alpha + k_\alpha$ 로 이동시키고, 생성 함수를 이에 맞게 조정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간이 $\mathcal{O}(C)$ 에 의한 토글링을 받을 때 어떻게 변화하며, 벽-교차의 구조는 어떠한가?
• RQ2 이 모듈리 공간들의 가상 허드지 수(또는 베텰 수)에 대한 공식은 무엇인가?
• RQ3 언제 휘어진 코herent sheaf의 모듈리 공간이 원래 표면 $X$에서의 모듈리 공간과 동형이 되는가?
• RQ4 언제 $\mathcal{O}(-mC)$ 에 의한 토글링 이후 모듈리 공간이 블로우업 $\widehat{X}$에서의 일반적인 모듈리 공간과 동형이 되는가?
• RQ5 모듈리 공간 $X$ 와 $\widehat{X}$ 는 벽-교차를 통해 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\widehat{M}^m(c)$ 와 $\widehat{M}^{m+1}(c)$ 사이의 벽-교차는 분리 가능 사상 $\xi_m$ 과 $\xi_m^+$ 를 통해 기술되며, 모듈리 공간들의 사슬을 이룬다.
• 모듈리 공간 $\widehat{M}^m(c)$ 의 가상 허드지 수는 분할과 $q$-Pochhammer 기호를 포함한 생성 함수를 통해 계산된다.
• $(c_1, [C]) = 0$ 일 때, 모듈리 공간 $\widehat{M}^m(c)$ 는 원래 표면 $X$에서의 안정적 벡터 복합체의 모듈리 공간과 동형이다.
• 충분히 큰 $m$ 에 대해 $\mathcal{O}(-mC)$ 에 의한 토글링은 $\widehat{M}^m(c)$ 를 블로우업 $\widehat{X}$ 에서의 일반적인 안정적 벡터 복합체의 모듈리 공간과 동형으로 만든다.
• 모듈리 공간의 Poincaré 급수 $\sum P_t(\widehat{M}^m(c)) \mathfrak{q}^{\Delta(c)}$ 는 $m_\alpha$, $k_\alpha$, 그리고 $t$-가중 내적을 이용해 명시적으로 주어진다.
• 한계 $m \to \infty$ 에서 공식은 [23, Cor. 3.10] 에서 알려진 결과를 복원하며, 일관성을 확인한다.