[논문 리뷰] Pesin set, closing lemma and shadowing lemma in C 1 non-uniformly hyperbolic systems with limit domination

Wenxiang Sun, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 극한 지배 조건을 만족하는 $C^1$ 비균일 초구형 시스템에서 새로운 페신 집합을 도입하여, $C^{1+\alpha}$ 설정과 유사한 클로징 보조정리와 샤도잉 보조정리를 가능하게 한다. 이는 초구형 측도 $\mu$ 에 대해 $\mu$-전체 측도 집합에 지지되는 모든 불변 측도가 순환 측도에 의해 근사가 가능하다는 것을 보여주며, 더 약한 지배 조건 하에서 $C^1$ 설정으로 고전적 페신 이론 결과를 확장한다.

ABSTRACT

For a $C^1$ diffeomorphism, we construct a new type of Pesin blocks and thus a Pesin set. All Pesin blocks have the same degree of mean hyperbolicity and all sufficiently long orbit segments with starting points and ending points at the same block are of the same type of quasi-hyperbolicity. We introduce a concept of limit domination, which is weaker than the usual domination. For a $C^1$ diffeomorphism preserving an hyperbolic ergodic measure $\mu$ with limit domination, we show the existence of our Pesin set with $\mu$ full measure, and we realize a closing lemma and shadowing lemma, comparable with Katok's closing lemma and shadowing lemma in the $C^{1+\alpha}\,(0<\alpha<1)$ setting. This enables us to get certain properties in $C^1$ setting with limit domination, which are similar to ones in the classical Pesin theory in the $C^{1+\alpha}$ setting. We present one of such properties, showing that all invariant measures supported on some $\mu$ full measure set can be approximated by periodic measures.

연구 동기 및 목표

• 고전적 페신 이론을 더 약한 지배 조건 하에서 $C^1$ 미분형으로 확장하기 위해.
• 균일 평균 초구형성과 일관된 준초구형 궤도 세그먼트를 갖는 새로운 유형의 페신 집합을 구성하기 위해.
• 극한 지배 조건 하에서 $C^1$ 설정에서 클로징 보조정리와 샤도잉 보조정리를 확립하기 위해.
• 고전적 페신 이론 결과를 $C^1$ 설정으로 확장하기 위해, $\mu$-전체 측도 집합에 지지되는 모든 불변 측도가 순환 측도에 의해 근사가 가능하다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 장기간 궤도 세그먼트에 걸쳐 균일 평균 초구형성과 일관된 준초구형성을 갖는 새로운 페신 블록을 구성하기 위해.
• 고전적 지배 조건의 더 약한 대안으로서, $C^1$ 시스템에서의 극한 지배 개념을 도입하기 위해.
• 초구형 에르고딕 측도 $\mu$ 와 극한 지배 조건이 동시에 성립할 때, $\mu$-전체 측도 집합의 페신 집합 존재성을 증명하기 위해.
• 카토크의 $C^{1+\alpha}$ 설정에서의 결과와 유사한 클로징 보조정리와 샤도잉 보조정리를 $C^1$ 설정에서 확립하기 위해.
• 새로운 프레임워크를 활용하여, 불변 측도가 순환 측도에 의해 근사가 가능하다는 것을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 더 약한 지배 조건 하에서 $C^1$ 시스템에서 클로징 보조정리와 샤도잉 보조정리를 확립할 수 있는가?
• RQ2 극한 지배 조건 하에서 균일 초구형성 특성을 갖는 페신 집합의 존재성은 유지되는가?
• RQ3 $C^1$ 비균일 초구형 시스템에서 $\mu$-전체 측도 집합에 지지되는 모든 불변 측도가 순환 측도에 의해 근사가 가능한가?
• RQ4 극한 지배 조건은 고전적 지배 조건과 비교하여 $C^1$ 설정에서 고전적 페신 이론 결과를 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 극한 지배 조건 하에서 $C^1$ 미분형에 대해 균일 평균 초구형성과 일관된 준초구형성을 갖는 새로운 페신 집합이 구성되었다.
• 초구형 에르고딕 측도 $\mu$ 와 극한 지배 조건이 동시에 성립할 경우, $\mu$-전체 측도 집합의 페신 집합 존재성이 증명되었다.
• 극한 지배 조건 하에서 $C^1$ 설정에서 카토크의 $C^{1+\alpha}$ 설정에서의 결과와 유사한 클로징 보조정리와 샤도잉 보조정리가 확립되었다.
• 모든 $\mu$-전체 측도 집합에 지지되는 불변 측도가 순환 측도에 의해 근사가 가능하다.