[논문 리뷰] Petrov-Galerkin Method for Fully Distributed-Order Fractional Partial Differential Equations

Mehdi Samiee, Ehsan Kharazmi외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 21.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 24인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 시간에 대해 잼비 폴리-분수다항식, 공간에 대해 레지앙드르 다항식을 사용하여 완전히 분포된 순서 분수 PDE를 해결하기 위한 빠르고 안정적인 페트로프-갈레르킨 스펙트럼 방법을 제시한다. 이 방법은 스펙트럼 수렴을 달성하고, 분포된 소볼레프 공간을 통해 잘 정의됨을 보장하며, 높은 차원에서의 효율성을 높이기 위해 통합된 빠른 선형 해법기를 활용한다.

ABSTRACT

Distributed-order PDEs are tractable mathematical models for complex multiscaling anomalous transport, where derivative orders are distributed over a range of values. We develop a fast and stable Petrov-Galerkin spectral method for such models by employing Jacobi extit{poly-fractonomial}s and Legendre polynomials as temporal and spatial basis/test functions, respectively. By defining the proper underlying extit{ distributed Sobolev} spaces and their equivalent norms, we prove the well-posedness of the weak formulation, and thereby carry out the corresponding stability and error analysis. We finally provide several numerical simulations to study the performance and convergence of proposed scheme.

연구 동기 및 목표

• $(1+d)$-차원 완전히 분포된 순서 분수 PDE에 대해 안정적이고 효율적인 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 완전히 분포된 순서 PDE의 약한 공식화를 지원하기 위해 분포된 소볼레프 공간 프레임워크를 확장하기 위해.
• 이산 인프-서프 조건과 등가 노름의 엄밀한 분석을 통해 약한 공식화의 잘 정의됨을 보장하기 위해.
• 높은 차원에서의 계산 효율성을 향상시키기 위해 강성 행렬과 질량 행렬의 구조를 활용하여 빠른 선형 해법기를 설계하기 위해.
• 스펙트럼 수렴을 보장하는 제안된 페트로프-갈레르킨 스펙트럼 방법에 대해 안정성과 오차 분석을 수립하기 위해.

제안 방법

• 분포된 순서 시간 도함수를 다루기 위해 시간 기저와 시험 함수로 잼비 폴리-분수다항식을 사용하기 위해.
• 페트로프-갈레르킨 프레임워크 내에서 공간 도함수를 다루기 위해 레지앙드르 다항식을 공간 기저와 시험 함수로 사용하기 위해.
• 약한 공식화와 안정성 분석을 지원하기 위해 새로운 종류의 분포된 소볼레프 공간을 정의하고 등가 노름을 유도하기 위해.
• 표준 도메인에서 물리적 도메인으로의 애핀 매핑을 통해 강성 행렬 항목을 구성하여 공간 연산자의 정확한 계산을 가능하게 하기 위해.
• 분포된 순서에 대한 통합에서 스펙트럼 정확도를 확보하기 위해 충분한 수의 구분점이 있는 가우스-레지앙드르 구분법을 활용하기 위해.
• 강성 행렬과 질량 행렬의 대칭성과 구조를 활용하여 통합된 빠른 선형 해법기를 구현함으로써 다차원 문제에서 해법 시간을 크게 단축하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간과 공간 양쪽에서 변수 순서 도함수를 가진 완전히 분포된 순서 분수 PDE에 대해 페트로프-갈레르킨 스펙트럼 방법을 어떻게 공식화하고 분석할 수 있는가?
• RQ2 약한 공식화의 잘 정의됨을 보장하기 위해 필요한 적절한 함수 공간 프레임워크—특히 분포된 소볼레프 공간—는 무엇인가?
• RQ3 제안된 방법은 일반적인 분포된 순서 조건 하에서 스펙트럼 수렴과 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 높은 차원에서 강성 행렬를 계산하고 역행렬을 구할 때 막대한 계산 비용을 피할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ5 잭비 폴리-분수다항식과 레지앙드르 다항식은 수치적 스킴에서 고차 정확도와 안정성을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제안된 페트로프-갈레르킨 스펙트럼 방법은 수치 시뮬레이션을 통해 완전히 분포된 순서 분수 PDE에서 스펙트럼 수렴을 달성한다.
• 이산 인프-서프 조건이 충족되어, 구성된 분포된 소볼레프 공간 프레임워크 내에서 약한 공식화의 잘 정의됨이 보장된다.
• 전체 공간 강성 행렬은 대칭이며, 충분한 수의 구분점이 있는 애핀 매핑과 가우스-레지앙드르 구분법을 통해 정확히 계산된다.
• 강성 행렬의 대칭성과 행렬의 구조를 활용한 통합된 빠른 선형 해법기를 통해 높은 차원에서 높은 효율성을 보인다.
• 안정성과 오차 분석이 엄밀히 증명되었으며, 다항식 차수 증가에 따라 오차가 스펙트럼 속도로 감소한다.
• 수치 결과는 분포된 순서 시간 및 공간 도함수를 포함한 다양한 시험 케이스에서 방법의 정확성과 강건성을 확인한다.