[논문 리뷰] Pfaffian structures and certain solutions to BKP hierarchies II. Multiple integrals

A. Yu. Orlov, Takahiro Shiota외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 07.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다중 적분과 분할에 대한 합으로서 '간단한 타우 함수'를 도입하여, 이들이 큰 BKP 계열과 혼합된 소형-대형 BKP 계열의 해로 작용함을 규명한다. 페르미온 방법과 파프산 구조를 통해 이 타우 함수들이 랜덤 행렬 이론에서의 직교, 심부피, 원형 집단과 연결됨을 보이며, 다중 적분이 결합 상수에 대한 보렐 합산된 섭동 급수로 해석될 수 있음을 보여주고, 스슈어 함수 및 프로젝티브 스슈어 함수, 행렬 모델의 분할 함수와의 명시적 연관성을 제시한다.

ABSTRACT

We introduce a useful and rather simple classes of BKP tau functions which which we shall shall call "easy tau functions". We consider the "large BKP hiearchy" related to $O(2\infty +1)$ which was introduced in \cite{KvdLbispec} (which is closely related to the DKP $O(2\infty) $hierarchy introduced in \cite{JM}). Actually "easy tau functions" of the small BKP was already considered in \cite{HLO}, here we are more interested in the large BKP and also the mixed small-large BKP tau functions \cite{KvdLbispec}. Tau functions under consideration are equal to sums over partitions and to multi-integrals. In this way they may be appliciable in models of random partitions and models of random matrices. Here in the part II we consider multi-intergals and series of $N$-ply integrals in $N$. Relations to matrix models is explained. This paper may be viewed as a developement of the the paper by J.van de Leur \cite{L1} related to orthogonal and symplectic ensembles of random matrices.

연구 동기 및 목표

• 다중 적분과 분할에 기반한 '간단한 타우 함수'를 도입하여 BKP 계열의 해로 풀 수 있는 해의 범주를 확장하는 것.
• 경로에 대한 다중 적분과 BKP 타우 함수 사이의 직접적 대응 관계를, 특히 직교 및 심부피 랜덤 행렬 집단의 맥락에서 확립하는 것.
• 다중 적분이 매트릭스 모델의 섭동 이론에 관련된 결합 상수에 대한 점근 급수의 보렐 합산으로 해석될 수 있음을 보여주는 것.
• 페르미온의 파프산 구조를 활용하여 직교, 심부피, 원형 β-집단을 BKP 타우 함수 프레임워크 안에서 통합적으로 묘사하는 것.
• 모드 전개를 통한 페르미온 표현을 제공하여 적분 표현으로부터 타우 함수를 체계적으로 유도할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 창조 및 소멸 연산자를 포함하는 진공 기댓값으로 타우 함수를 표현하기 위해 페르미온 포크 공간 형식을 사용한다.
• 고유한 BKP 시간 t*에 따라 변하는 측도 dµ(z, t*)를 갖는 N중 곱 γ×N 또는 복소 도메인에 대한 N중 적분을 정의한다.
• 비대칭 핵심 A(z,w)와 함수 a(z)를 통해 파프산 구조를 도입하고, ˜A의 파프산으로서 ¯A(z)를 정의한다.
• ψ(x) = ∑ₙ ψₙxⁿ의 페르미온 모드 전개를 적용하여 적분을 급수로 변환하고, 다중 적분이 보렐 합산 가능한 급수로 식별될 수 있음을 가능하게 한다.
• 파프산 및 행렬식 항등식을 활용하여 원형 β=1,2,4 집단의 분할 함수에 대한 명시적 표현을 도출하고, 이를 BKP 타우 함수로 표현한다.
• 잭 대칭 함수를 포함하는 생성 함수와 변수 변경을 통해 복소 β-집단과 BKP 타우 함수 사이의 대응 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로에 대한 다중 적분이 어떻게 체계적으로 BKP 계열의 해로 식별될 수 있는가?
• RQ2 파프산 구조는 무엇을 통해 직교 및 심부피 랜덤 행렬 집단의 타우 함수를 특성화하는가?
• RQ3 매트릭스 모델 내에서 다중 적분은 어떤 방식으로 결합 상수에 대한 섭동 급수의 보렐 합산으로 작용하는가?
• RQ4 페르미온 모드 전개는 BKP 타우 함수 맥락에서 적분과 분할에 대한 합 사이의 연결을 어떻게 형성하는가?
• RQ5 원형 β-집단(β=1,2,4)의 분할 함수는 파프산 및 행렬식 항등식을 통해 BKP 타우 함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 원형 β=2 집단의 분할 함수는 지수 생성 함수를 포함하는 행렬의 행렬식으로 주어진 BKP 타우 함수로 식별된다.
• β=1(직교) 집단의 분할 함수는 핵심 A(z,w)와 함수 a(z)로부터 구성된 비대칭 행렬의 파프산을 통해 BKP 타우 함수로 표현된다.
• β=4(심부피) 집단의 경우, 수정된 측도 dµ₄(z,t*)를 포함하는 제곱 파프산 구조를 통해 분할 함수가 BKP 타우 함수로 표현된다.
• 논문은 경로 γ×N에 대한 다중 적분이 결합 상수에 대한 보렐 합산 가능한 급수와 동치임을 규명하였으며, 이 적분이 급수의 보렐 변환으로 작용함을 보였다.
• 잭 대칭 함수의 생성 함수에 대한 명시적 표현이 다중 적분을 통해 유도되었으며, ∫⋯∫ ∆ₙ(z)⁴ ∏ᵢ dµ₄(zi,t*) = ∑λ e⁻F⁽¹ᐟ²⁾λ J⁽¹ᐟ²⁾λ(t)J⁽¹ᐟ²⁾λ(¯t) 라는 식이 도출되었다.
• 대규모 N 근사에서, 복소 β-집단 분할 함수 Z(β)ₙ는 BKP 타우 함수 τ(α)(t,t*,¯t)로 수렴하며, 변수 간 정확한 대응 관계가 tⱼ = (1/j)√(2/β)∑ₙ zⱼₙ 를 통해 확립된다.