[논문 리뷰] Phase correlations in chaotic dynamics A Shannon entropy measure

P. M. Cincotta, C. M. Giordano|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 20.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 혼돈 동역계에서 단계 상관관계를 탐지하기 위해 샤논 엔트로피 기반 방법을 제안하며, 엔트로피 감쇠 속도가 각도 변수에서 약한 또는 강한 상관관계 존재를 드러낸다는 것을 보여준다. 이 방법은 정상적인 확산에서의 이탈을 효과적으로 식별하며, 특히 아르놀드의 해밀토니안에서 표준 근사 방법인 감소된 확률성의 실패를 보여준다. 상관관계가 뚜렷할 경우 이러한 근사는 성립하지 않는다.

ABSTRACT

In the present work we investigate phase correlations by recourse to the Shannon entropy. Using theoretical arguments we show that the entropy provides an accurate measure of phase correlations in any dynamical system, in particular when dealing with a chaotic diffusion process. We apply this approach to different low dimensional maps in order to show that indeed the entropy is very sensitive to the presence of correlations among the successive values of angular variables, even when it is weak. Later on, we apply this approach to unveil strong correlations in the time evolution of the phases involved in the Arnold's Hamiltonian that lead to anomalous diffusion, particularly when the perturbation parameters are comparatively large. The obtained results allow us to discuss the validity of several approximations and assumptions usually introduced to derive a local diffusion coefficient in multidimensional near--integrable Hamiltonian systems, in particular the so-called reduced stochasticity approximation.

연구 동기 및 목표

• 혼돈 시스템에서 전통적인 상관 함수가 비현실적인 경우에도 신뢰성 있고 계산 효율성이 높은 단계 상관관계 탐지 방법을 개발하는 것.
• 체리코프의 아르놀드 확산 공식화에서 단계 진동이 상관없다는 가정을 기반으로 하는 감소된 확률성 근사의 타당성을 도전하는 것.
• 분산의 비율 스킴에 의존하지 않는 혼돈 확산 속도의 대체 측정법을 제공함으로써 분산 기반 방법 대신 샤논 엔트로피를 사용하는 것.
• 근사적으로 통합 가능한 해밀토니안 시스템에서 局소 확산 계수 추정의 정확도에 단계 상관관계가 미치는 영향을 조사하는 것.
• 특히 저차원 맵과 아르놀드의 해밀토니안에서 약한 상관관계가 비정상적 확산을 유도하는 경우에 이 방법이 민감하게 이를 탐지할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 위상공간 분할의 정보량을 측정하기 위해 샤논 엔트로피 $\mathcal{I}(N) = -\sum_{k=1}^{q} \mu(a_k) \ln \mu(a_k)$ 를 사용함. 여기서 $\mu(a_k) = n_k/N$ 은 셀 $a_k$ 의 점유 확률이다.
• 면적을 보존하는 맵과 해밀토니안 시스템에서 각도 변수의 시간 시리즈에 엔트로피를 적용하여 시간 $N$ 에 따라 감쇠되는 정도를 추적함으로써 상관관계 강도를 추론한다.
• 엔트로피 감쇠를 이론적 기대치와 비교함: 에르고딕 행동에 대해 역수($\sim t^{-1}$), 균일 분포에 대해 역제곱($\sim t^{-2}$), 이격은 상관관계를 나타냄.
• 기존의 잘 알려진 맵들(예: 표준 맵, 기울기-기울기 맵)에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 엔트로피 방법이 알려진 혼돈 동역학과 일치하는지 검증함.
• 엔트로피 방법을 파arameter $\varepsilon = 0.25$, $\mu = 0.1\varepsilon$ 인 아르놀드의 해밀토니안 시스템으로 확장하여 $I_2$ 확산과 단계 진동을 분석함.
• 엔트로피 감쇠 속도를 사용하여 체리코프 모델에서 $\langle \cos^2 \theta_2 \rangle \approx Rt/2$ 라는 가정의 타당성을 평가함. 강한 상관관계가 존재할 경우 이 가정이 실패함을 보여줌.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 시간 상관 함수가 계산적으로 비효율적인 경우, 혼돈 시스템에서 단계 상관관계를 신뢰성 있게 측정하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 체리코프의 아르놀드 확산 모델에서 단계 상관관계가 감소된 확률성 근사의 타당성을 어느 정도 무너뜨리는가?
• RQ3 샤논 엔트로피가 분산 기반의 비율 스킴보다 더 강건하고 독립적인 혼돈 확산 속도 측정법으로 기능할 수 있는가?
• RQ4 약한 단계 상관관계가 특히 느린 또는 부분적 확산 분산 성장이 있는 시스템에서 비정상적 확산을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 아르놀드의 해밀토니안에서 엔트로피 기반 방법이 에르고딕 또는 무작위 단계 행동에서의 현저한 이격을 드러내는 매개변수 영역은 어디인가?

주요 결과

• 샤논 엔트로피 감쇠 속도는 약한 상관관계가 존재할지라도 민감하고 계산 효율성이 높은 단계 상관관계 측정법을 제공한다.
• $\kappa = 9.00$ 일 때 엔트로피 감쇠는 $\sim t^{-1}$ 을 따르며, 이는 에르고딕 유사 행동을 나타내고, $\kappa = 1.00$ 일 때는 $\sim t^{-2}$ 로 감쇠되어 균일한 단계 분포를 시사한다.
• 파arameter $\varepsilon = 0.25$, $\mu = 0.1\varepsilon$, $|\omega_2^0| < 2$ 인 아르놀드의 해밀토니안에서 엔트로피 분석은 이전 연구(CGMB17, GC18)와 일치하는 부분적 확산 행동을 확인한다.
• 강한 단계 상관관계가 존재할 경우 체리코프 모델에서 $\langle \cos^2 \theta_2 \rangle \approx Rt/2$ 라는 가정은 무효하다. 특히 $\omega_2 \lesssim 1$ 일 경우 더욱 그렇다.
• 식 (25)는 $\mu\varepsilon \ll \varepsilon \ll 1$ 이고 $\omega_2$ 가 0과 1에서 멀리 떨어져 있을 때에만 공명의 혼돈 층을 따라 확산을 모델링하는 데 신뢰할 수 있다.
• $\omega_2 \gg 1$ 일 경우 감소된 확률성 근사는 타당해지며, 이는 모델의 타당성이 매개변수에 따라 달라지고 상관관계 민감도를 가짐을 시사한다.