[논문 리뷰] Phase estimation with randomized Hamiltonians

Ian Kivlichan, Christopher Granade외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 23.

Hydrocarbon exploration and reservoir analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반복적 위상 추정에서 랜덤화된 하미르토니안 프레임워크를 제안하며, 각 단계에서 중요도 샘플링 기반으로 다른 하미르토니안을 사용하여 계산 비용을 절감한다. 지배 상태에 대한 관련성이 높은 항들을 적응적으로 선택함으로써 회로 깊이와 큐비트 수를 크게 감소시키며, 화학적 하미르토니안에서 수치적으로 검증되었다. 스펙트럼 갭 조건 하에서 위상 추정 정확도와 성공 확률을 유지한다.

ABSTRACT

Iterative phase estimation has long been used in quantum computing to estimate Hamiltonian eigenvalues. This is done by applying many repetitions of the same fundamental simulation circuit to an initial state, and using statistical inference to glean estimates of the eigenvalues from the resulting data. Here, we show a generalization of this framework where each of the steps in the simulation uses a different Hamiltonian. This allows the precision of the Hamiltonian to be changed as the phase estimation precision increases. Additionally, through the use of importance sampling, we can exploit knowledge about the ground state to decide how frequently each Hamiltonian term should appear in the evolution, and minimize the variance of our estimate. We rigorously show, if the Hamiltonian is gapped and the sample variance in the ground state expectation values of the Hamiltonian terms sufficiently small, that this process has a negligible impact on the resultant estimate and the success probability for phase estimation. We demonstrate this process numerically for two chemical Hamiltonians, and observe substantial reductions in the number of terms in the Hamiltonian; in one case, we even observe a reduction in the number of qubits needed for the simulation. Our results are agnostic to the particular simulation algorithm, and we expect these methods to be applicable to a range of approaches.

연구 동기 및 목표

• 반복적 위상 추정의 계산 비용을 줄이기 위해 각 단계에서 사용되는 하미르토니안 항들을 동적으로 조정하는 것.
• 지배 상태 기대값을 기반으로 한 중요도 샘플링을 통해 위상 추정의 분산을 최소화하는 것.
• 원래 하미르토니안이 갭이 있고 항의 분산이 작을 경우, 랜덤 하미르토니안이 높은 허상도와 성공 확률을 유지하는지 보여주는 것.
• 시뮬레이션 초기 단계에서 관련성이 없는 하미르토니안 항들을 식별하고 생략함으로써 시간 복잡도와 공간 복잡도를 모두 줄이는 것.
• 기존의 시뮬레이션 비용 절감 기법을 항의 수를 넘어서, 하미르토니안 구성 요소의 적응적 샘플링으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 중요도 샘플링을 사용하여 하미르토니안 항에 대해 지배 상태 기대값을 기반으로 확률을 할당하고, 더 중요한 항들을 우선시한다.
• 위상 추정의 각 반복 단계에서, 중요도 가중치에 따라 항을 샘플링하여 다른 랜덤 하미르토니안을 구성함으로써 사용되는 항의 수를 줄인다.
• 이론적 분석은 양자 제노 효과와 애드아바틱 정리에 기반하여 고유 상태 준비 및 위상 축적의 오차를 경계한다.
• 핵심 식은 이상적이고 실제 유니터리 진동 간의 차이를 $ \|U_k - U_{k,\text{ad}}\| \leq \frac{2\lambda^2}{(\gamma - 2\lambda)^2} $ 로 경계하며, 여기서 $ \lambda $ 는 교란 강도이고 $ \gamma $ 는 스펙트럼 갭이다.
• 위상 추정의 분산은 행렬 원소의 크기 $ |\langle \psi_p^k | V_k | \psi_0^k \rangle| $ 에 비례하는 샘플링 분포를 선택함으로써 최소화된다.
• 이 방법은 기반 시뮬레이션 알고리즘에 관계없이 적용 가능하므로, 다양한 양자 시뮬레이션 기법에 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 단계에서 고정된 하미르토니안 대신 다른 랜덤 하미르토니안을 사용할 경우 반복적 위상 추정이 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ2 하미르토니안 항의 중요도 샘플링이 위상 추정의 분산과 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 하미르토니안의 랜덤화가 위상 추정의 성공 확률을 떨어뜨리지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ4 낮은 영향력을 지닌 하미르토니안 항들을 선택적으로 생략함으로써 큐비트 수와 회로 깊이를 어느 정도 줄일 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 표준 위상 추정을 초월한 다른 양자 시뮬레이션 알고리즘으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 사용되는 하미르토니안 항의 수에 상당한 감소가 이루어졌으며, 한 화학 시스템에서는 필요한 큐비트 수가 감소한 것으로 나타났다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 스펙트럼 갭 조건 하에서 랜덤 하미르토니안이 위상 추정 정확도와 성공 확률을 유지하는 것으로 확인되었다.
• 지배 상태에서 행렬 원소의 절대값에 비례하는 샘플링을 할 경우 위상 추정의 분산이 최소화된다.
• 이론적 경계는 스펙트럼 갭 $ \gamma $ 가 교란 강도 $ \lambda $ 에 비해 충분히 크면 고유값 추정 오차가 무시할 만큼 작다는 것을 보여준다.
• 관련성이 없는 큐비트와 항들을 식별하고 제거함으로써 시간 복잡도는 감소시키고, 일부 경우 공간 복잡도도 감소시킬 수 있다.
• 성공 확률은 $ \lambda / \gamma < \sqrt{1 - \exp(\log(1 - \epsilon)/(M - 1))} $ 를 만족할 경우 높게 유지되며, 측정 단계에서 실패율이 낮다는 것을 보장한다.