[논문 리뷰] Phase Retrieval From the Magnitudes of Affine Linear Measurements

Gao Bing, Qiyu Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 22.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 신호가 약선형 측정값의 크기로부터 복원되는 애फ인 위상 복원을 소개하고 분석한다 (즉, 선형 측정값에 상수항이 더해진 경우). 애फ인 위상 복원 가능성을 위한 필요 및 충분 조건을 수립하고, 복소수 케이스에서는 표준 위상 복원에서 요구되는 4d−4개보다 훨씬 적은 3d개의 측정값으로도 충분하다는 것을 보이며, 표준 위상 복원에서 존재하는 일변도 불확실성(unimodular ambiguity)을 제거한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the phase retrieval problem in which one aims to recover a signal from the magnitudes of affine measurements. Let $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m \subset {\mathbb H}^d$ and ${\mathbf b}=(b_1, \ldots, b_m)^ op\in{\mathbb H}^m$, where ${\mathbb H}={\mathbb R}$ or ${\mathbb C}$. We say $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ are affine phase retrievable for ${\mathbb H}^d$ if any ${\mathbf x}\in{\mathbb H}^d$ can be recovered from the magnitudes of the affine measurements $\{|+b_j|,\, 1\leq j\leq m\}$. We develop general framework for affine phase retrieval and prove necessary and sufficient conditions for $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ to be affine phase retrievable. We establish results on minimal measurements and generic measurements for affine phase retrieval as well as on sparse affine phase retrieval. In particular, we also highlight some notable differences between affine phase retrieval and the standard phase retrieval in which one aims to recover a signal $\mathbf x$ from the magnitudes of its linear measurements. In standard phase retrieval, one can only recover $\mathbf x$ up to a unimodular constant, while affine phase retrieval removes this ambiguity. We prove that unlike standard phase retrieval, the affine phase retrievable measurements $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ do not form an open set in ${\mathbb H}^{m imes d} imes {\mathbb H}^m$. Also in the complex setting, the standard phase retrieval requires $4d-O(\log_2d)$ measurements, while the affine phase retrieval only needs $m=3d$ measurements.

연구 동기 및 목표

• 약선형 측정값(상수 이동을 포함함)을 사용한 위상 복원을 위한 일반적인 수학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 측정값 집합이 전역 위상 외에 어떤 신호도 유일하게 복원할 수 있는지에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하기 위해.
• 애फ인 위상 복원을 위한 최소 측정값 요구량과 일반 측정 구성 조건을 조사하기 위해.
• 애फ인 위상 복원 환경에서 희소 신호 복원을 탐색하기 위해.
• 특히 측정 복잡도와 일변도 불확실성 측면에서 애फ인 위상 복원과 표준 위상 복원을 비교하고 대조하기 위해.

제안 방법

• 신호 x ∈ ℍ^d 를 |⟨a_j, x⟩ + b_j| 로 복원하는 방식으로 애फ인 위상 복원을 정의한다. 여기서 a_j ∈ ℍ^d 이고 b_j ∈ ℍ 이다.
• 측정 행렬 A 와 벡터 b 를 사용하여 애फ인 위상 복원 가능성을 정의하고, x 가 유일하게 복원될 수 있는 조건을 수립한다.
• 대수기하학과 프레임 이론을 활용하여 애फ인 위상 복원 가능성을 위한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 필요로 하는 최소 측정값 수를 분석하고, 복소수 케이스에서 m = 3d 가 충분하다는 것을 증명한다.
• 표준 위상 복원과 달리, ℍ^{m×d} × ℍ^m 에서 애फ인 위상 복원 가능 측정값의 집합은 열려 있지 않음을 밝힌다.
• 리프시츠 안정성 분석을 적용하여 측정 지도가 소규모 변동에 대해 안정적임을 보이며, 다만 이중 리프시츠 조건은 만족하지 못한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 벡터 {a_j} 와 이동량 {b_j} 에 어떤 조건이 성립하면, 신호 x ∈ ℍ^d 가 |⟨a_j, x⟩ + b_j| 로부터 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 실수 및 복소수 환경에서 위상 복원을 위해 필요한 애फ인 측정값의 최소 수는 얼마인가?
• RQ3 애फ인 이동항의 포함이 표준 위상 복원에서 존재하는 일변도 불확실성을 어떻게 제거하는가?
• RQ4 ℍ^{m×d} × ℍ^m 의 매개변수 공간에서 애फ인 위상 복원 가능 측정값의 집합은 열려 있는가?
• RQ5 희소 신호는 애फ인 위상 복원을 통해 효율적으로 복원될 수 있는가? 이러한 경우의 측정값 요구 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 애फ인 위상 복원은 일변도 불확실성을 제거한다: 신호는 전역 위상 외에 정확히 복원될 수 있다.
• 복소수 케이스에서는 위상 복원을 위해 단지 m = 3d 개의 측정값이 필요하다. 이는 표준 위상 복원에서 요구되는 4d−4 보다 적다.
• ℍ^{m×d} × ℍ^m 에서 애फ인 위상 복원 가능 측정값의 집합은 열려 있지 않다. 이는 표준 위상 복원과의 핵심적인 차이점이다.
• 일반적인 측정값에 대해, 복소수 케이스에서는 m = 3d 개의 측정값으로도 애फ인 위상 복원이 가능하다.
• 측정 지도 M_{A,b} 는 소규모 변동에 대해 안정적이다. 이는 ||M_{A,b}(x) - M_{A,b}(y)|| ≥ c / (1 + ||x|| + ||y||) ||x - y|| 의 형태를 가진 하한 리프시츠 조건을 만족한다.
• M_{A,b} 는 시그널 노름이 증가함에 따라 출력 거리와 입력 거리의 비율이 0으로 수렴하는 수열을 구성함으로써, 이중 리프시츠 조건을 만족하지 못한다.