[논문 리뷰] Phase transition in one-dimensional subshifts

Nicolai Haydn|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 27.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 위상 엔트로피를 갖는 명시적인 일차원 혼합 부분시프트를 구성하며, 이는 허더 연속 잠재력에 대해 다수의 에르고딕 최대 엔트로피 측도와 상호로 비상관되는 평형 상태를 가진다. 장거리의 0-블록으로 분리된 다수의 포화 시프트를 임bedding하여, 조건이 규칙적인 경우에도 유일성의 일반적인 가정이 깨질 수 있음을 보여주며, 이는 혼합성과 비가역성 조건 하에서도 평형 상태의 비유일성이 가능함을 시사한다.

ABSTRACT

In this note we give simple examples of a one-dimensional mixing subshift with positive topological entropy which have two distinct measures of maximal entropy. We also give examples of subshifts which have two mutually singular equilibrium states for Hölder continuous functions. We also indicate how the construction can be extended to yield examples with any number of measures of maximal entropy of equilibrium states.

연구 동기 및 목표

• 일차원 혼합 부분시프트가 양의 위상 엔트로피를 갖는다 해도 다수의 에르고딕 최대 엔트로피 측도를 가질 수 있음을 보여주어 일반적인 유일성 가정을 반박한다.
• 허더 연속 잠재력에 대해 다수의 상호로 비상관되는 평형 상태를 가진 예를 구성하여 일반적인 유일성 결과를 넘어서는 데 목적이 있다.
• 이러한 구성 방식을 일반화하여 유한하거나 무한한 수의 서로 다른 평형 상태를 가진 시스템을 만들 수 있도록 한다.
• 복잡하거나 병리적인 잠재력이 필요 없이 단순한 예를 제시하여 기호 동역학에서의 상전이를 설명한다.

제안 방법

• 알파벳 𝒜 = {0} ∪ 𝒢 ∪ 𝒴 에서 정의된 부분시프트 Σ 에서, 𝒢 와 𝒴 는 각각 녹색 및 노란색 기호로 구성되며, 이들은 각각 포화 시프트를 이룬다.
• 다른 색상의 단어 사이에 길이 ≥ τ(|α| + |β|) 인 0으로 이루어진 분리 블록이 요구되는 전이 규칙을 도입하며, τ > 0 이므로 혼합성이 확보된다.
• 단일 포화 시프트 Σ𝒢 에서의 허더 연속 잠재력 f 를 확장하여 모든 임bedded 포화 시프트 Σj 에서 정의된 잠재력 함수 g 를 구성하며, 0-단어에서는 g 를 sup f 로 설정한다.
• 변이 원리를 사용하여, 압력 P(g) 가 개별 임bedded 포화 시프트 Σj 에서 지지되는 불변 측도에 의해 실현됨을 보여준다.
• 엔트로피와 압력 추정을 적용하여, τ 가 충분히 크면 다색 단어 기여가 무시 가능하다는 것을 보이며, 이는 평형 상태가 개별 색상 시프트에 집중됨을 보장한다.
• P𝒢(f) ≥ sup f + log 2 이고 τ 가 충분히 크면, 각 임bedded 시프트는 g 에 대해 서로 다른 상호로 비상관되는 평형 상태를 지지함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 혼합 부분시프트가 양의 위상 엔트로피를 갖는다 해도 최대 엔트로피를 갖는 다수의 에르고딕 측도를 가질 수 있는가?
• RQ2 혼합 부분시프트에서 허더 연속 잠재력이 반드시 유일한 평형 상태를 갖는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 서로 다른 평형 상태의 수를 제어하고 무한대로 확장할 수 있는가?
• RQ4 전이 규칙(예: 0-블록 길이 τ)에 대한 어떤 조건이 평형 상태가 상호로 비상관되며 임bedded 시프트에 지지됨을 보장하는가?
• RQ5 다른 τ 와 ν 값에서, 확장된 잠재력의 압력이 개별 임bedded 부분시프트의 압력과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• τ ≥ log 3 / log ν 이면, 구성된 부분시프트의 위상 엔트로피는 log ν 로, 각 임bedded 포화 시프트의 엔트로피와 동일하다.
• τ ≥ log 3ν / (P𝒢(f) − sup f) − 1 이면, 확장된 잠재력 g 에 대해 두 개의 상호로 비상관되는 평형 상태가 존재한다.
• L ≥ 2 개의 임bedded 포화 시프트가 있을 경우, τ ≥ log(5ν) / (P𝒢(f) − sup f) − 1 이면, 시스템은 L 개의 상호로 비상관되는 평형 상태를 지지한다.
• 무한히 많은 임bedded 포화 시프트와 ν ≥ 3 이면, τ ≥ log 5ν / (P₁(f) − sup f) − 1 이면, 시스템은 무한히 많은 상호로 비상관되는 평형 상태를 지지한다.
• 확장된 잠재력 g 의 압력 P(g) 는 P𝒢(f) 와 동일하며, 이는 각 임bedded 시프트가 별개의 평형 상태를 기여함을 확인한다.
• 구성은 모든 τ > 0 에서 위상 혼합성을 보장하므로, 강한 혼합성 조건이 있음에도 불구하고 비유일성이 발생함을 보여준다.