[논문 리뷰] Phase transition of the six-state clock model observed from the entanglement entropy

Roman Krčmár, Andrej Gendiar외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 22.

Quantum many-body systems인용 수 7

한 줄 요약

이 연구는 사각 격자 위의 여섯상태 시계 모델에서 엔트로피의 유한 체적 스케일링을 분석함으로써 엣지 전이의 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) 전이를 중심 전이 매트릭스 재규격화 군(CTMRG) 방법을 사용하여 조사한다. 유한 체적 스케일링을 통해 엔트로피 피크 온도를 분석함으로써 저자들은 임계 전이 온도를 $ T_1 = 0.70 $ 및 $ T_2 = 0.88 $로 추정하였으며, 이는 이전 결과와 일치하지만 열역학적 함수나 질서 매개변수에 의존하지 않는다.

ABSTRACT

The Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) transitions of the six-state clock model on the square lattice are investigated by means of the corner-transfer matrix renormalization group method. The classical analogue of the entanglement entropy $S( L, T )$ is calculated for $L$ by $L$ square system up to $L = 129$, as a function of temperature $T$. The entropy has a peak at $T = T^{*}_{~}( L )$, where the temperature depends on both $L$ and boundary conditions. Applying the finite-size scaling to $T^{*}_{~}( L )$ and assuming the presence of BKT transitions, the transition temperature is estimated to be $T_1^{~} = 0.70$ and $T_2^{~} = 0.88$. The obtained results agree with previous analyses. It should be noted that no thermodynamic function is used in this study.

연구 동기 및 목표

• 엔트로피를 탐사도구로 사용하여 사각 격자 위의 여섯상태 시계 모델에서 BKT 전이를 조사하는 것.
• 전통적인 열역학적 함수나 질서 매개변수에 의존하지 않고 임계 전이 온도 $ T_1 $ 및 $ T_2 $를 결정하는 것.
• 여섯상태 시계 모델의 맥락에서 엔트로피 피크 온도의 BKT 유한 체적 스케일링 형태를 검증하는 것.
• 다양한 경계 조건 하에서 엔트로피 피크의 스케일링 행동을 분석함으로써 BKT 전이의 보편성을 확인하는 것.

제안 방법

• 최대 $ L = 129 $ 인 $ L \times L $ 체계에 대해 중심 전이 매트릭스 재규격화 군(CTMRG) 방법을 사용하여 엔트로피의 고전적 대응체인 $ S(L,T) $ 를 계산하는 것.
• 엔트로피 $ S(L,T) $ 의 온도 의존성을 분석하여 자유 및 고정 경계 조건 하에서 피크 위치 $ T^*_1(L) $ 과 $ T^*_2(L) $ 를 식별하는 것.
• BKT 형태인 $ T^*(L) = T_C + \alpha / [\ln(\beta L)]^2 $ 를 기반으로 유한 체적 스케일링을 적용하여 피크 온도를 열역학적 한계로 외삽하는 것.
• 로그 스케일링 함수를 사용하여 피크 위치 $ T^*_1(L) $ 과 $ T^*_2(L) $ 를 피팅하며, 각각 $ \beta = 1.62 $ 과 $ \beta = 2.88 $ 를 사용하여 선형 스케일링을 달성하는 것.
• 온도 축을 $ [T - T^*(L)] \cdot [\ln(\beta L)]^2 $ 로 재스케일링하여 스케일링 수축을 검증하고, 유니버설 피크로 수렴하는 것을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열역학적 함수에 의존하지 않고 엔트로피를 사용하여 여섯상태 시계 모델의 BKT 전이를 신뢰성 있게 탐지할 수 있는가?
• RQ2 다른 경계 조건 하에서 엔트로피 피크 온도 $ T^*(L) $ 의 유한 체적 스케일링 행동은 어떠한가?
• RQ3 엔트로피 스케일링을 통해 추출된 임계 온도 $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 는 이전 연구에서의 기존 값과 일치하는가?
• RQ4 BKT 스케일링 형태인 $ T^*(L) = T_C + \alpha / [\ln(\beta L)]^2 $ 는 체계 크기의 변화에 따른 피크 온도의 변화를 정확히 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 자유 경계 조건 하에서 엔트로피 $ S(L,T) $ 는 $ T^*_1(L) $ 에서 피크를 보이며, 이는 체계 크기 $ L $ 이 증가함에 따라 증가하여 $ T_1 $ 근처의 임계 영역을 나타낸다.
• 고정 경계 조건 하에서 피크 위치는 $ T^*_2(L) $ 에서 발생하며, $ L $ 이 증가함에 따라 감소하여 $ T_2 $ 에서의 BKT 전이와 일치한다.
• BKT 형태를 기반으로 $ T^*_1(L) $ 과 $ T^*_2(L) $ 의 유한 체적 스케일링을 수행함으로써 열역학적 한계에서의 외삽 전이 온도 $ T_1 = 0.70 $ 과 $ T_2 = 0.88 $ 를 도출하였다.
• 엔트로피 피크의 스케일링 수축을 $ S(L,T)/\ln L $ 과 재스케일된 온도 $ [T - T^*(L)] \cdot [\ln(\beta L)]^2 $ 를 대비하여 분석함으로써 BKT 전이의 보편성과 스케일링 가정의 타당성을 확인하였다.
• 결과는 몬테카를로 시뮬레이션, 비틀림 모듈러스 및 펄스 제로 분석에서 이전에 얻어진 추정치와 일치하며, 엔트로피가 BKT 전이 탐지에 있어 강력한 탐사도구임을 검증한다.
• 자기 에너지의 도함수 계산이나 질서 매개변수 사용 없이도 임계 온도를 성공적으로 식별함으로써, 엔트로피가 고전적 전이 탐지에 있어 유용한 도구임을 보여준다.