[논문 리뷰] Phase transitions in Z_N gauge theory and twisted Z_N topological phases

Maissam Barkeshli, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2010. 12. 11.

Metal and Thin Film Mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 $Z_N$ 게이지 이론의 $Z_2$ 전기-자기 대칭을 게이지화하여 유도된 새로운 비아벨(topological) 위상상태인 '틀어진(twisted)' $Z_N$ 상태를 제안한다. 이는 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 초전도체 이론을 통해 기술되며, 3차원 이징(3D Ising) 보편성 클래스에 속하는 연속적인 양자상전이를 통해 나타나며, $Z_2$ 분획화를 포함한 파르톤 구성에 의해 실현된다. 이 상태들은 $N>2$일 때 비아벨 통계와 시간역전대칭 위반을 나타낸다. 주요 결과는 국소 상호작용을 갖는 강한 상호작용 보수계에서 이러한 위상상태들의 미시적 실현을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We find a series of non-Abelian topological phases that are separated from the deconfined phase of Z_N gauge theory by a continuous quantum phase transition. These non-Abelian states, which we refer to as the "twisted" Z_N states, are described by a recently studied $U(1) imes U(1) times Z_2$ Chern-Simons (CS) field theory. The $U(1) imes U(1) times Z_2$ CS theory provides a way of gauging the global Z_2 electric-magnetic symmetry of the Abelian Z_N phases, yielding the twisted Z_N states. We introduce a parton construction to describe the Abelian Z_N phases in terms of integer quantum Hall states, which then allows us to obtain the non-Abelian states from a theory of Z_2 fractionalization. The non-Abelian twisted Z_N states do not have topologically protected gapless edge modes and, for N > 2, break time-reversal symmetry.

연구 동기 및 목표

• 아벨 $Z_N$ 위상상태에서의 $Z_2$ 전기-자기 대칭을 게이지화하여 유도되는 새로운 비아贝尔 위상상태인 '틀어진(twisted)' $Z_N$ 상태를 규명하고 특성화하는 것.
• 강한 상호작용 보수계에서 국소 상호작용을 갖는 시스템에서 파르톤 구성과 $Z_2$ 분획화를 통해 이러한 비아벨 상태들의 미시적 실현을 확립하는 것.
• 아벨 $Z_N$ 탈구속 위상상태와 비아벨 틀어진 $Z_N$ 위상상태 사이의 연속적인 양자상전이의 성격을 규명하는 것.
• 특히 $N>2$일 때 보호된 금속 모드가 없고 시간역전대칭 위반이 발생하는 틀어진 $Z_N$ 상태의 위상적 순서와 대칭성 특성을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 틀어진 $Z_N$ 상태의 효과적인 저에너지 이론을 기술하기 위해 정수 결합 상수를 갖는 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 초전도체(CS) 이론을 사용한다.
• 정수 양자홀 효과 상태를 이용한 아벨 $Z_N$ 위상상태의 파르톤 표현을 구성함으로써, $Z_2$ 분획화를 통해 비아贝尔 통계의 존재를 가능하게 한다.
• $K$-행렬 형식을 사용하여 위상적 순서를 기술하며, $SU(N)\times SU(N)\times SU(N)$의 카르탕 생성자로부터 유도된 $K$-행렬을 정규화하여 큰 게이지 변환의 일致성을 확보한다.
• 이론은 큰 게이지 변환과 카르탕 부분대칭에 작용하는 이산 와일 군 대칭성을 포함하며, 이는 $K$-행렬이 토러스 위에서의 위상적 degeneracy를 완전히 기술함을 보장한다.
• 토러스 위에서 $a_0^I = 0$ 조건을 적용하여 체계를 양자화함으로써 해밀토니안이 0이 되고, 게이지 불변성에서 유도된 제약 조건을 갖는 운동량 상태의 합으로 파동함수를 표현한다.
• 분석 결과, 와일 군이 상태 공간에 비자명하게 작용하지 않으며, 이는 $K$-행렬이 이론의 위상적 불변량을 완전히 기술함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 위상상태는 아벨 $Z_N$ 게이지 이론에서 연속적인 양자상전이를 통해 실현될 수 있는가?
• RQ2 $Z_2$ 전기-자기 대칭이 위상상태에서 비아贝尔 통계를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 초전도체 이론이 아벨 및 비아贝尔 위상상태를 모두 기술할 수 있는가?
• RQ4 국소 상호작용을 갖는 시스템에서 파르톤 구성과 $Z_2$ 분획화를 통해 이러한 비아벨 상태들이 어떻게 실현되는가?
• RQ5 왜 틀어진 $Z_N$ 상태는 $N>2$일 때 보호된 금속 모드를 갖지 않으며 시간역전대칭을 위반하는가?

주요 결과

• $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 초전도체 이론은 정수 결합 상수를 갖는다. 이 이론은 아벨 $Z_N$ 게이지 이론과는 다름없는 비아贝尔 위상상태인 '틀어진(twisted)' $Z_N$ 상태를 기술한다.
• 이러한 틀어진 $Z_N$ 상태들은 3차원 이징 보편성 클래스에 속하는 연속적인 양자상전이를 통해 아벨 $Z_N$ 탈구속 위상상태와 연결되어 있다.
• $K$-행렬은 $SU(N)\times SU(N)\times SU(N)$의 카르탕 생성자로부터 유도되며, 행렬식이 $N^2$이므로 토러스 위에서의 위상적 디제너레이시를 확인한다.
• 게이지군의 와일 군이 상태 공간에 대해 자명하게 작용하므로, $K$-행렬이 위상적 순서를 추가적인 식별 없이 완전히 기술함을 의미한다.
• $N>2$일 때, 틀어진 $Z_N$ 상태는 아벨 $Z_N$ 위상상태와 달리 시간역전대칭을 위반하며, 위상적으로 보호된 금속 모드를 갖지 않는다.
• 정수 양자홀 효과 상태의 $Z_2$ 분획화를 포함한 파르톤 구성은 국소 상호작용을 갖는 강한 상호작용 보수계에서 이러한 비아벨 위상상태들의 미시적 실현을 제공한다.