[논문 리뷰] Phase transitions on the Toeplitz algebras of Baumslag-Solitar semigroups

Lisa Orloff Clark, Astrid an Huef외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Baumslag-Solitar 반군과 관련된 Toeplitz 대수의 KMS (Kubo-Martin-Schwinger) 상태에서의 계단 전이를 조사한다. 자연스러운 R-작용에 의해 정의된 동역학계를 통해, 역온도 β > ln d일 경우 원주 위의 확률 측도에 의해 매개되는 KMS 상태의 단순체가 존재함을 보이며, 임계 역온도 β = ln d에서 d가 c를 나누지 않을 경우 단순체가 한 점으로 붕괴되는 계단 전이가 발생한다. 무한 온도(기본 상태)에서는 유한한 온도의 KMS 상태의 극한으로 유도되지 않는 다수의 비등가 기본 상태가 존재한다.

ABSTRACT

Spielberg has recently shown that Baumslag-Solitar groups associated to pairs of positive integers are quasi-lattice ordered in the sense of Nica. Thus they have tractable Toeplitz algebras. Each of these algebras carries a natural dynamics. Here we construct the equilibrium states (the KMS states) for these dynamics. For inverse temperatures larger than a critical value, there is a large simplex of KMS states parametrised by probability measures on the unit circle. At the critical value, and under a mild hypothesis, there is a phase transition in which this simplex collapses to a singleton. There is a further phase transition at infinity, in the sense that there are many ground states which cannot be realised as limits of KMS states with finite inverse temperatures.

연구 동기 및 목표

• Baumslag-Solitar 반군 BS(c,d)와 관련된 Toeplitz 대수의 KMS 상태를 분석하는 것, 특히 자연스러운 R-작용 하에서의 행동을 고려하여.
• 다양한 역온도 β에서 평형 상태(즉, KMS 상태)의 구조를 규명하는 것.
• 임계 역온도 β = ln d에서의 계단 전이 및 무한 온도 근처(기본 상태)에서의 계단 전이를 조사하는 것.
• 'd가 c를 나누지 않는다'는 조건이 β = ln d에서의 계단 전이 성격을 결정하는 데서 수행하는 역할를 명확히 하는 것.
• 시스템의 기본 상태를 식별하고, 이들이 유한한 온도에서의 KMS 상태의 극한이 아니라는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• Baumslag-Solitar 반군 P = ⟨a,b | ab^c = b^d a⟩의 왼쪽 정규 표현을 ℓ²(P)에 대해 고려하여, Toeplitz 대수 T(P)를 C*-대수로 구성한다.
• 게이지 작용을 통해 원환면 작용을 R-작용으로 올려, T(P) 위에 자연스러운 R-작용 α를 정의한다.
• 스패닝 원소 T_x T_y*의 곱을 포함하는 교환관계를 이용하여 KMS 상태를 특성화한다.
• b에 의해 생성되는 부분군의 유니터리 표현을 유도하여, β > ln d인 경우 KMS 상태를 구성하며, 이를 불변 부분공간으로 제한한다.
• d ∤ c일 때 β = ln d에서 KMS 상태의 단순체가 한 점으로 붕괴됨을 보여, 임계 역온도에서의 분석을 수행한다.
• 공통 몫을 통한 인수분해가 불가능하므로, 유도된 표현에 의존하지 않고 등급 표현을 통해 직접적으로 기본 상태를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역온도 β > ln d일 때, Baumslag-Solitar 반군 BS(c,d)의 Toeplitz 대수에서 KMS 상태의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 d가 c를 나누지 않는 수론적 조건이 β = ln d에서의 계단 전이에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 유한한 역온도에서의 KMS 상태의 극한으로 유도되지 않는 기본 상태가 존재하는가?
• RQ4 경계 몫은 임계 및 무한 역온도에서 KMS 구조에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 공통 몫을 통한 인수분해가 불가능한 상황에서, 유도된 표현을 사용하지 않고 기본 상태를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• β > ln d일 경우, KMS 상태의 집합은 단위 원주 위의 확률 측도에 의해 매개되는 단순체를 이룬다.
• 임계 역온도 β = ln d에서, d가 c를 나누지 않을 경우 단순체가 한 점으로 붕괴되며, 이는 계단 전이를 나타낸다.
• d가 c를 나눌 경우, β = ln d에서 다수의 KMS 상태가 존재하므로, 전이가 날카롭게 발생하는 것은 d ∤ c 조건이 성립할 때에만 성립한다.
• β = ln d에서의 유일한 KMS 상태는 반군의 경계 몫을 통해 인수분해되며, 이는 Kirchberg 대수이다.
• 유한한 온도에서의 KMS 상태의 극한으로 유도되지 않는 다수의 기본 상태(KMS∞ 상태)가 존재하여, 무한 온도에서 별개의 상이 존재함을 시사한다.
• Toeplitz 대수는 왼쪽 정규 표현을 통해 충실하게 표현되며, 코어 C*-대수는 정규형의 길이에 따라 인덱싱된 부분공간들의 합집합에 의해 생성된다.