[논문 리뷰] Phase-type fitting of scale functions for spectrally negative Levy processes

Masahiko Egami, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 01.

Probability and Risk Models참고 문헌 29인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대해 스케일 함수와 관련된 변동 항등식을 단순화하기 위해 단계형(Phase-type, PH) 피팅 방법을 제안한다. PH Lévy 과정에서 라플라스 지수의 유리함수 성질 덕분에 해석적 접근이 가능하며, 부분 분수 분해를 통해 닫힌 형태의 표현식을 도출함으로써, 중간 수준의 단계 수로도 균일하거나 로그정규 분포와 같은 복잡한 분포의 경우에도 매우 정확한 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

We study the scale function of the spectrally negative phase-type Levy process. Its scale function admits an analytical expression and so do a number of its fluctuation identities. Motivated by the fact that the class of phase-type distributions is dense in the class of all positive-valued distributions, we propose a new approach to approximating the scale function and the associated fluctuation identities for a general spectrally negative Levy process. Numerical examples are provided to illustrate the effectiveness of the approximation method.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정의 스케일 함수는 일반적으로 라플라스 변환을 통해만 알려져 있으며, 이는 수치적 역변환을 필요로 한다는 문제를 해결하기 위해.
• 표준 수치적 라플라스 역변환에서 발생하는 이중 오차 요인(라플라스 지수의 근사화 및 역변환 오차)을 제거하기 위해, 해석적으로 다룰 수 있는 스케일 함수를 가진 PH 피팅을 사용함으로써.
• 단계형 분포의 조밀성 덕분에, 적절한 조건 하에서 임의의 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대해 스케일 함수의 정확한 근사가 가능하다는 것을 보여주기 위해.
• 복잡한 해석적 적분(예: 리졸베이트 측도에 대한 통합)을 포함하는 변동 항등식의 분석적 계산이 가능한 실용적인 닫힌 형태 근사 방법을 제공하기 위해.
• 특히 균일 분포 점프와 같은 어려운 케이스에 대해 EM 알고리즘을 사용한 PH 피팅을 통해 수치 실험을 수행하여 방법의 정확성과 효율성을 평가하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정의 Lévy 측도를 단계형 분포로 근사함으로써, 라플라스 지수가 유리함수 형태인 스펙트르 알 수 없는 PH Lévy 과정을 도출한다.
• 라플라스 지수의 유리함수 성질 덕분에, 라플라스 역변환 후 부분 분수 분해를 통해 PH Lévy 과정의 스케일 함수를 닫힌 형태로 계산할 수 있다.
• PH 피팅 과정은 목표 Lévy 측도의 모멘트 또는 밀도를 일치시키기 위해 EM 알고리즘을 사용하며, 적절한 단계형 근사로 수렴함을 보장한다.
• 중간 수준의 단계 수(m=3에서 m=9)를 선택함으로써 오차를 최소화하며, 양의 분포 공간에서 PH 분포의 조밀성에 기반한다.
• 수치적 라플라스 역변환 오차를 피하기 위해 PH 분포의 명시적 라플라스 변환을 사용함으로써 총 오차는 피팅 오차로만 제한된다.
• PH 근사에서 유도된 분석적 변동 항등식(예: 스케일 함수, 제1통과 확률)을 시뮬레이션 결과와 비교하여 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단계형 분포가 양의 분포 공간에서 조밀하므로, 일반적인 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정의 스케일 함수를 단계형 분포로 정확히 근사할 수 있는가?
• RQ2 스케일 함수와 변동 항등식을 계산할 때, 표준 수치적 라플라스 역변환 대비 PH 피팅 방법의 정확성과 오차 원천은 어떻게 다른가?
• RQ3 균일 또는 로그정규 분포와 같이 피팅이 어려운 것으로 알려진 도전적인 점프 분포에 대해 PH 피팅 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ4 PH 기반 스케일 함수의 닫힌 형태는 리졸베이트 측도나 오버슈트를 포함하는 복잡한 항등식의 분석적 계산을 어느 정도 가능하게 하는가?
• RQ5 특히 스케일 함수가 명시적으로 알려져 있지 않은 과정에 대해, 소수의 단계 수(m=3 등)로도 높은 정확도를 유지하는가?

주요 결과

• σ=1, λ=10인 정규 및 Weibull 점프 분포의 경우, m=9 단계를 사용할 때 스케일 함수 Φ(q)의 상대 오차가 0.05% 미만으로 도달하였다.
• m=9 단계를 사용한 로그정규 점프 분포의 스케일 함수 근사에서 Φ(q)=1.2194(일반형) 및 1.2194(Coxian형)를 도출하였으며, 시뮬레이션 결과와 매우 유사하였다.
• 균일 점프 분포의 경우, m=9 단계로 Φ(q)=1.0386를 도출하여, 경계가 있는 분포의 피팅이 어려운 것으로 알려져 있음에도 불구하고 높은 정확도를 보였다.
• 단지 m=3 단계만으로도 균일 분포의 경우 Φ(q)=1.0678를 도출하여, 최소한의 계산 비용으로도 합리적인 정확도를 확보하였다.
• 복잡한 변동 항등식의 근사에서도 강건성을 보였으며, 스케일 함수 분해에서 복소수 근을 포함하는 경우에도 정규형 및 Coxian 표현 간에 ξi,q의 수치 값이 높은 일致성을 보였다.
• EM 알고리즘 기반의 PH 피팅은 모든 시험된 분포에 대해 Lévy 측도를 성공적으로 근사하였으며, 몬테카를로 시뮬레이션과 비교해 결과 스케일 함수 값의 편차가 최소한이었다.