[논문 리뷰] Phaseless inverse problems with interference waves

V. G. Romanov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 30.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 점원천(입사 및 보조원천)으로부터 생성된 간섭 패턴을 이용하여 타원형 방정식에 대한 단일 위상 역문제를 위한 새로운 접근법을 제안한다. 전체 장의 크기를 측정하며, 적절한 기하학적 및 점점적 조건 하에서, 이 단일 위상 데이터가 유한 도메인 내의 포텐셜 또는 굴절률을 유일하게 결정함을 증명한다. 고주파수에서의 점점적 분석을 통해 이 문제는 고전적 역운동역학 문제 또는 단층촬영 문제로 환원되며, 이는 기존의 유일성 및 안정성 결과를 적용할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We consider two phaseless inverse problems for elliptic equation. The statements of these problems differ from have considered. Namely, instead of given information about modulus of scattering waves, we consider the information related to modulus of full fields, which consist of sums of incident and scattering fields. These full fields are the interference fields generated by point sources. We introduce a set of auxiliary point sources for solving the inverse problems and demonstrate that the corresponding data allow us to solve the inverse problems in a way similar to the case of measurements of scattering waves.

연구 동기 및 목표

• 측정 데이터로 산란장이 아닌 전체 장(입사장 + 산란장)의 크기만 제공되는 단일 위상 역문제를 다루는 것.
• 전체 장 데이터의 복잡성이 증가함에 따라 보조 점원천을 도입하여 제어 가능한 간섭 패턴을 생성함으로써 이를 해결하는 것.
• 이러한 간섭 장의 단일 위상 데이터가 유한 도메인 내의 알려지지 않은 계수(포텐셜 또는 굴절률)를 유일하게 결정할 수 있음을 보여주는 것.
• 전체 장 데이터를 사용하는 단일 위상 역문제를 고전적 문제들—단층촬영 및 역운동역학 문제—로 환원함으로써, 기존의 유일성 및 안정성 결과를 적용할 수 있도록 하는 것.
• 간섭 데이터로부터 리만 거리 함수를 재구성할 수 있는 조건을 설정하여 굴절률 복원이 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 경계점 $ y \to S $ 에 위치한 한 점원천과, $ -y $ 에서 탄젠트 평면 위에 위치한 멀리 떨어진 보조원천 $ z^{(j)}(y) $ 를 도입하여, 세 개의 서로 다른 위치를 가지는 직각삼각형을 형성한다.
• 각 보조원천으로부터 비추어진 영역인 관측 영역 $ S_+(z^{(j)}) $ 를 정의하여 기하학적 다양성을 확보한다.
• 헤르츠 방정식의 해에 대한 점점적 전개를 $ k \to ∞ $ 에서 사용하며, 전체 장이 리만 거리 함수를 포함한 두 개의 복소 지수함수의 합으로 행동함을 보인다.
• 전체 장의 제곱 크기를 유도하여, 이는 $ k $ 에 대해 거의 주기적인 함수가 되며, 이는 리만 거리의 차이 $ \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $ 에 따라 변동함을 보인다.
• 이전 연구에서 제안된 절차 [12] 를 적용하여 거의 주기적 함수의 주기를 추출함으로써, 거리 차이 $ \rho(x,y) = \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $ 를 식별한다.
• 세 개의 서로 다른 보조원천 위치 $ z^{(1)}, z^{(2)}, z^{(3)} $ 에서의 데이터를 조합하여 모든 $ x,y \in S $ 에 대해 $ \tau(x,y) $ 를 재구성함으로써 역운동역학 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 데이터로 산란장이 아닌 전체 장(입사장 + 산란장)의 크기만 제공되는 경우 단일 위상 역문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 실제 원천과 보조원천으로부터 생성된 간섭을 통해, 유한 도메인 내의 알려지지 않은 계수를 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ3 고주파수에서 간섭 데이터로부터 리만 거리 함수 $ \tau(x,y) $ 를 재구성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 기하학적 및 점점적 조건 하에서 간섭 데이터를 고전적 역운동역학 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ5 산란장의 크기 대신 전체 장의 크기를 사용할 경우 해의 유일성이 유지되는가?

주요 결과

• 각 관측점마다 세 개의 보조원천을 사용하는 제안된 간섭 설정 하에서, 전체 장의 크기 데이터를 이용한 단일 위상 역문제는 유일하게 해를 갖는다.
• 고주파수 $ k \geq k_0 $ 에서 전체 장의 크기는 거의 주기적인 성분을 포함하며, 이 주기에는 거리 차이 $ \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $ 가 암묵적으로 포함되어 있으며, 기존 절차를 통해 추출 가능하다.
• 세 개의 서로 다른 보조원천 위치 $ z^{(1)}, z^{(2)}, z^{(3)} $ 에서의 데이터를 조합함으로써, 모든 $ x,y \in S $ 에 대해 전체 리만 거리 $ \tau(x,y) $ 가 재구성되며, 이는 역운동역학 문제의 해결을 가능하게 한다.
• S × S 에서의 $ \tau(x,y) $ 재구성은 리만 계량이 단순하다는 가정 하에 $ \Omega_0 $ 내부의 굴절률 $ n(x) $ 복원을 가능하게 한다.
• 문제는 고전적 역운동역학 문제로 환원되며, 이에 대한 유일성 및 안정성 결과는 이미 문헌에 존재하므로, 이 방법의 타당성을 입증한다.
• 조건 $ |z^{(j)}(y) + y| = \ell > R\sqrt{(1+2n_1)^2 - 1} $ 는 단계적 위상 차이가 충분히 크므로 주기 추출이 모호하지 않게 보장하며, 이는 방법의 실현 가능성을 보장한다.