[논문 리뷰] PhD thesis: Homological Quantum Codes Beyond the Toric Code

Nikolas P. Breuckmann|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 박사학위논문은 표면 코드를 초월하는 토폴로지적 양자 코드를 구축하기 위한 프레임워크를 제안한다. 하이퍼볼릭 및 고차원 격자 구조를 활용하여 Z2-호모로지와 다양체의 세분화를 통해 2차원 하이퍼볼릭 코드와 단일 스탑(fault-tolerant) 오류 수정이 가능한 4차원 코드를 구성한다. 이는 향상된 임계값과 논리 큐비트 보호 성능을 보여준다. 주요 기여는 디한 트위스트와 격자 수술을 통한 체계적인 코드 설계로, 거리와 고장내성 논리 게이트를 향상시킨다.

ABSTRACT

PhD thesis investigating homological quantum codes derived from curved and higher dimensional geometries. In the first part we will consider closed surfaces with constant negative curvature. We show how such surfaces can be constructed and enumerate all quantum codes derived from them which have less than 10.000 physical qubits. For codes that are extremal in a certain sense we perform numerical simulations to determine the value of their threshold. Furthermore, we give evidence that these codes can be used for more overhead efficient storage as compared to the surface code by orders of magnitude. We also show how to read and write the encoded qubits while keeping their connectivity low. In the second part we consider codes in which qubits are layed-out according to a four- dimensional geometry. Such codes allow for much simpler decoding schemes compared to codes which are two-dimensional. In particular, measurements do not necessarily have to be repeated to obtain reliable information about the error and the classical hardware performing the error correction is greatly simplified. We perform numerical simulations to analyze the performance of these codes using decoders based on local updates. We also introduce a novel decoder based on techniques from machine learning and image recognition to decode four-dimensional codes.

연구 동기 및 목표

• 토릭 코드를 초월하는 호모로지 대수학을 활용한 토폴로지적 양자 코드 설계의 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 2차원에서 하이퍼볼릭 기하학을 활용하여 일정 거리 코드를 얻고 높은 논리 임계값을 달성하는 것.
• 단일 스탑 고장내성 오류 수정을 위한 4차원 격자로의 확장을 이루는 것.
• 실제 노이즈 모델 하에서 이러한 코드의 성능과 고장내성 임계값을 분석하는 것.
• 격자 수술과 디한 트위스트를 통한 고장내성 논리 게이트 구현을 보여주는 것.

제안 방법

• Z2-호모로지와 상대 호모로지 군을 활용하여 다양체의 세분화에서 양자 코드를 구성하는 것.
• 고차원에서 논리 연산자와 코드 거리를 분석하기 위해 파oincaré-Lefschetz 쌍대성을 적용하는 것.
• 코드 공간 차원과 위상적 불변량을 계산하기 위해 변형 수축과 절단 정리(Excision theorems)를 사용하는 것.
• 평면 및 하이퍼볼릭 코드에서 격자 수술과 디한 트위스트를 통해 논리 게이트를 구현하는 것.
• 국소 에너지 장벽을 기반으로 한 하스팅스 스타일 디코더를 4차원 호모로지 코드에 구현하는 것.
• 완전한 및 노이즈 있는 측정 모델 하에서 몬테카를로 방법을 사용해 코드 성능을 시뮬레이션하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 하이퍼볼릭 타일링은 토릭 코드에 비해 일정 거리와 향상된 임계값을 갖는 양자 코드를 제공할 수 있는가?
• RQ2 2차원 하이퍼볼릭 코드의 거리가 코드 크기와 어떻게 스케일링되는가? 그리고 그 매개변수에 대한 상한은 무엇인가?
• RQ3 4차원 호모로지 코드는 단일 스탑 고장내성 오류 수정을 달성할 수 있으며, 상대 호모로지 군이 그 구조에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 측정 오류를 포함한 실제 노이즈 하에서 2차원 하이퍼볼릭 코드의 성능 임계값은 무엇인가?
• RQ5 격자 수술과 위상적 연산을 통해 이러한 코드에서 논리 클리포드 게이트를 고장내성으로 어떻게 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 10,000 큐비트 이하의 2차원 하이퍼볼릭 코드는 일정 거리 d = 4를 가지며, 완전한 측정 조건에서 논리 임계값이 약 1.2%로 추정된다.
• 테크서스 코드는 4차원 호모로지 코드로, 매개변수 [[n = 6L⁴ −12L³ +10L² −4L+1, k=1, d=L²]]를 가지며, 하나의 논리 큐비트를 인코딩하고 단일 스탑 고장내성 오류 수정 성능을 보인다.
• 상대 호모로지 군 H₂(A,B)의 차원은 1이며, 이는 코드가 하나의 논리 큐비트를 인코딩한다는 것을 확인한다. H₁(A,B) = 0 이고 H₃(A,B) = 0 이므로, 비자명한 1-사이클이나 3-코사이클이 존재하지 않음을 의미한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션 결과, 노이즈 있는 측정 조건에서 하이퍼볼릭 코드의 임계값은 0.8%로 감소하지만, 최적의 QEC 라운드 수 T ≈ 10이 성능 향상에 기여한다.
• 디한 트위스트를 통해 평면 하이퍼볼릭 코드에서 고장내성 논리 게이트를 실현할 수 있으며, 논리 클리포드 게이트는 격자 수술을 통해 실현 가능하다.
• 4차원 코드를 위한 하스팅스 디코더는 국소 에너지 장벽을 최소화함으로써 최소 무게 디코딩을 달성하여 고차원 격자에서 효율적인 오류 수정을 가능하게 한다.