[논문 리뷰] Phononic band structure of honeycomb lattice with defects, using spectrally formulated finite element method

Sushovan Mukherjee, S. Gopalakrishnan|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 28.

Acoustic Wave Phenomena Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허브로움 격자 내에서 결함이 있는 경우와 없는 경우를 모두 고려하여, 스펙트럼적으로 공식화된 유한요소법(SFEM)과 블로흐 이론을 조합하여 격자 모드 구조를 계산한다. 비틀림 및 굽힘 효과를 고려한 팀로센코 빔 요소를 사용하여 각 빔 요소를 1차원 파동가로 모델링하고, 그로 인한 고유값 문제를 위트리크-윌리엄스 알고리즘을 통해 해결함으로써 고주파수 영역에서 높은 정확도를 확보하면서 메쉬의 밀도를 감소시킨다. 주요 기여는 초세포 모델에서의 비가역성 및 고유값의 분리 현상과 같은 결함에 의한 밴드 구조 변화를 분석할 수 있는 강력한 프레임워크를 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

A spectrally formulated finite element analysis based methodology has been proposed to calculate phononic band structure of reticulated honeycomb lattices having translationally invariant repetitive elements called unit cells. Bloch formulation captures dynamics of infinite structure through that of a unit cell. While conventional FEM is generally used for analyzing dynamics of such unit systems, here, constituent structural members are treated as 1D waveguide and modeled as Timoshenko beam frame element, enabling application of spectral FEM, suitable for accurately analyzing the dynamics, particularly efficient at very high frequencies. Using exact solutions as shape functions spares dense meshing. Resulting eigenvalue problem is solved by Wittrick-Williams method, an iterative scheme. Subsequently, band structures are obtained for supercells- units comprising multiple elemental unit cells; compared and reconciled with those obtained using elemental cell (termed primitive unit cell to distinguish from supercell). Primitive cell band structures are reconstructed from Supercell band structures. Supercell band structures show some spurious bands, which are explained in terms of band folding in the primitive cell band structure. Supercell allows treatment of defects as a periodic feature with certain defect density. Of particular observation in such band structures is the separation of bands, known as degeneracy breaking.

연구 동기 및 목표

• 다각형 허브로움 격자에서 phononic 밴드 구조를 계산하기 위한 계산 효율성과 정확성이 뛰어난 방법을 개발하기.
• 기존의 FEM이 고주파수 동역학에서의 한계와 가까운 고유값 간의 해상도 부족 문제를 해결하기.
• 결함을 초세포 내 주기적 특성으로 간주함으로써 주기적 격자 내의 결함을 체계적으로 분석할 수 있도록 하기.
• 결함 기하학적 형태와 밀도가 밴드 구조에 미치는 영향, 특히 고유값의 분리 현상과 밴드 분할 현상에 대해 조사하기.
• 향후 몬테카를로 또는 결함 통계를 포함한 대규모 시뮬레이션을 위한 병렬 처리와의 호환성을 제공하는 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 각 구성 요소의 파동가로 행동을 표현하기 위해 1차원 팀로센코 빔 프레임 요소를 사용하여 구조를 모델링한다.
• 블로흐 정리에 따라 무한한 주기적 구조를 한 개의 기본 세포로 단순화함으로써 전체 격자의 분석을 대표적인 세포를 통해 수행할 수 있다.
• 스펙트럼 유한요소 공식화는 정확한 동적 형상 함수를 사용하여 밀도 높은 메쉬가 필요 없게 하며 고주파수 정확도를 향상시킨다.
• 유도된 암묵적 고유값 문제는 고유값을 놓치지 않고 반복적으로 수치를 세고 위치를 특정하는 위트리크-윌리엄스 알고리즘을 통해 해결한다.
• 초세포(여러 개의 기본 세포로 구성됨)는 주기적 결함을 모델링하기 위해 사용되며, 결함이 있는 격자의 밴드 구조 분석이 가능하다.
• 초세포의 밴드 구조를 기본 세포의 밴드 구조와 비교하고 조율함으로써, 기본 세포의 밴드 접힘 현상으로 인한 비가역성 밴드가 드러난다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 유한요소법은 기존의 FEM에 비해 고주파수 phononic 밴드 구조 계산에서 정확도와 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 초세포 기반의 밴드 구조에서 비가역성 밴드는 무엇 때문에 발생하며, 이는 기본 세포의 밴드 접힘 현상과 어떤 관련이 있는가?
• RQ3 다양한 결함 구조(예: 이동 결함)가 phononic 밴드 구조에 미치는 영향은 무엇이며, 특히 고유값의 분리 현상 측면에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 결함이 밴드 구조에 미치는 영향의 정도는 어느 정도이며, 평균 백분율 편차를 통해 정량화할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 병렬 처리를 통해 대규모 결함 통계나 몬테카를로 시뮬레이션을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 SFEM-Bloch 방법은 정확한 동적 형상 함수를 사용함으로써 고주파수 영역에서 높은 정확도를 달성하며, 밀도 높은 메쉬가 필요 없어진다.
• 위트리크-윌리엄스 알고리즘이 암묵적 고유값 문제를 성공적으로 해결하여, 특히 가까이 있는 고유값들 사이에서도 고유값을 놓치지 않고 정확히 수치를 계산한다.
• 초세포의 밴드 구조는 밴드 접힘으로 인해 비가역성 밴드를 나타내며, 이는 기본 세포의 밴드 구조와의 정밀한 분석을 통해 보정된다.
• 결함은 고유값의 분리를 유도하며, 이는 밴드 분할 현상으로 관찰되며, 결함 강도가 클수록 분할의 크기가 증가한다.
• 30%의 강성 편차를 가진 6×6 초세포 내 단일 이동 결함의 경우, 밴드 구조의 평균 백분율 편차는 약 0.03%이다.
• 대칭성 고려에 의해, 특정 고대칭 경로(OA 및 AB 등)를 따라 밴드 구조가 결함의 방향에 관계없이 거의 동일하게 유지되는 이유가 설명된다.