[논문 리뷰] PhyGeoNet: Physics-Informed Geometry-Adaptive Convolutional Neural Networks for Solving Parametric PDEs on Irregular Domain

Han Gao, Luning Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 21.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 타원 좌표 변환을 통해 비정규 영역으로의 매핑을 통해 비정규 영역에서 매개변수화된 PDE를 해결하는 물리 기반, 기하학 적응형 합성곱 신경망인 PhyGeoNet을 제안한다. 이 방법은 완전히 연결된 PINN보다 더 높은 정확도와 효율성을 달성하면서도 CNN의 인덕티브 바이어스를 활용하면서도 데이터 없이 물리 법칙에 구속된 방식을 유지한다.

ABSTRACT

Recently, the advent of deep learning has spurred interest in the development of physics-informed neural networks (PINN) for efficiently solving partial differential equations (PDEs), particularly in a parametric setting. Among all different classes of deep neural networks, the convolutional neural network (CNN) has attracted increasing attention in the scientific machine learning community, since the parameter-sharing feature in CNN enables efficient learning for problems with large-scale spatiotemporal fields. However, one of the biggest challenges is that CNN only can handle regular geometries with image-like format (i.e., rectangular domains with uniform grids). In this paper, we propose a novel physics-constrained CNN learning architecture, aiming to learn solutions of \emph{parametric PDEs on irregular domains without any labeled data}. In order to leverage powerful classic CNN backbones, elliptic coordinate mapping is introduced to enable coordinate transforms between the irregular physical domain and regular reference domain. The proposed method has been assessed by solving a number of PDEs on irregular domains, including heat equations and steady Navier-Stokes equations with parameterized boundary conditions and varying geometries. Moreover, the proposed method has also been compared against the state-of-the-art PINN with fully-connected neural network (FC-NN) formulation. The numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed approach and exhibit notable superiority over the FC-NN based PINN in terms of efficiency and accuracy.

연구 동기 및 목표

• 표준 CNN이 PDE를 해결하기 위해 비정규 기하학을 다루는 데에 한계가 있음을 해결하기 위해.
• 복잡한 영역에서 레이블이 없는 데이터 기반, 물리 법칙에 구속된 매개변수화된 PDE 해를 학습할 수 있도록 하기 위해.
• CNN의 인덕티브 바이어스와 기하학적 적응성을 결합하여 일반화 능력과 효율성을 향상시키기 위해.
• 딥 러닝의 적용 가능성을 기하학적 형태가 다양하고 경계 조건이 매개변수화된 PDE로 확장하기 위해.

제안 방법

• 비정규 물리적 영역를 정규 기준 영역로 매핑하기 위해 타원 좌표 변환을 사용한다.
• PDE 제약 조건, 경계 조건, 그리고 초기 조건을 직접 네트워크 학습 중에 만족시키기 위해 물리 기반 손실 함수를 적용한다.
• 표준 CNN 백본을 매핑된 기준 영역에 사용하여 파라미터 공유와 공간적 인덕티브 바이어스를 유지한다.
• 레이블이 있는 해 데이터에 의존하지 않고, PDE 잔여항과 경계 제약 조건에만 기반하여 네트워크를 종단 간(end-to-end)으로 학습시킨다.
• 좌표 변환이 미분 가능하므로, 학습 중 기하학적 매핑을 통해 역전파가 가능하다.
• 각 구성에 대해 영역을 재매핑함으로써 기하학적 형태와 경계 조건이 다양한 매개변수화된 PDE를 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레이블이 없는 데이터를 사용할 때, CNN 기반 아키텍처가 비정규 영역에서 매개변수화된 PDE를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 기하학적 매핑을 적용한 CNN의 성능은 완전히 연결된 PINN보다 정확도와 수렴 속도 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 좌표 변환의 사용이 복잡한 기하학에서 해의 정밀도를 어느 정도 유지하는가?
• RQ4 이 방법은 다양한 영역 형태와 매개변수화된 경계 조건에 대해 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• PhyGeoNet는 특히 복잡한 기하학에서, FC-NN 기반 PINN보다 유의미하게 높은 해의 정확도를 달성한다.
• CNN의 공간적 특징 학습에서의 인덕티브 바이어스 덕분에 더 빠른 수렴과 감소된 학습 시간을 보인다.
• 타원 좌표 매핑을 사용함으로써 비직사각형 영역에 효과적으로 CNN을 적용하면서도 미분 가능성을 유지한다.
• 재학습 없이도 다양한 영역 형태와 매개변수화된 경계 조건에 대해 잘 일반화된다.
• 물리 기반 손실은 PDE 잔여항과 경계 조건이 높은 정밀도로 만족됨을 보장한다.