[논문 리뷰] Physical and unphysical regimes of self-consistent many-body perturbation theory

Kris Van Houcke, Evgeny Kozik외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 08.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 79인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자기구속적인 many-body 섭동 이론에서 무한 차수의 스켈레톤 급수를 잘라내었을 때 물리적으로 의미 없는 결과로 수렴하는 제도를 규명한다. 이는 이론적으로 정확한 방법임에도 불구하고 발생한다. 0차원 페르미온 장난감 모델과 반-filled Hubbard 원자를 분석함으로써, 저자들은 강한 상호작용 영역에서 허구적 한계로 수렴하는 현상이 발생하며, 정확한 기준이 없이도 이러한 잘못된 수렴을 탐지할 수 있는 수정된 수열 수렴 기준을 검증한다.

ABSTRACT

In the standard framework of self-consistent many-body perturbation theory, the skeleton series for the self-energy is truncated at a finite order $\mathcal{N}$ and plugged into the Dyson equation, which is then solved for the propagator $G_{\mathcal{N}}\,$. We consider two examples of fermionic models, the Hubbard atom at half filling and its zero space-time dimensional simplified version. First, we show that $G_{\mathcal{N}}\,$ converges when $\mathcal{N} o\infty$ to a limit $G_\infty\,$, which coincides with the exact physical propagator $G_{ m exact}\ $ at small enough coupling, while $G_\infty eq G_{ m exact}\ $ at strong coupling. This follows from the findings of [Kozik, Ferrero and Georges, PRL 114, 156402 (2015)] and an additional subtle mathematical mechanism elucidated here. Second, we demonstrate that it is possible to discriminate between the $G_\infty=G_{ m exact}\ $ and $G_\infty eq G_{ m exact}\ $ regimes thanks to a criterion which does not require the knowledge of $G_{ m exact}\ $, as proposed in [Rossi et al., PRB 93, 161102(R) (2016)].

연구 동기 및 목표

• 무한 차수의 잘라내기 순서 N에서 자기구속적인 many-body 섭동 이론의 수렴 행동을 조사하기 위해.
• 강한 상관관계를 가진 페르미온계에서 수열 GN이 정확한 물리적 전파함수 G_exact로 수렴하는지, 아니면 물리적으로 의미 없는 한계로 수렴하는지 결정하기 위해.
• 문헌 [1]에서 제안된 기준이 정확한 G_exact의 지식이 없이도 잘못된 수렴을 탐지하는 데 성공적으로 테스트되고 검증되었는지 확인하기 위해.
• Dyson 방정식과 스켈레톤 급수의 맥락에서 물리적으로 의미 없는 수렴의 수학적 메커니즘을 명확히 하기 위해.
• 정확한 해가 없는 현실적인 모델, 예를 들어 Hubbard 원자에까지 이 탐지 기준의 적용 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• 다양한 many-body 문제를 단순화하고 수렴 행동을 고립시키기 위해 그라스만 변수를 사용한 0차원 공간-시간 차원의 페르미온 장난감 모델을 분석한다.
• 자기구속적인 스켈레톤 급수의 자가에너지에 대해 차수 N까지 잘라낸 Dyson 방정식을 풀고, N → ∞일 때의 극한 GN을 연구한다.
• 약간의 변화에 대한 반응을 관찰함으로써, 수렴이 잘못되었는지 탐지하기 위해 수정된 수열 기준(ξ > 1)을 적용한다.
• 수치적으로 정확한 양자 몬테카를로 결과와 비교하기 위해, 다이어그램 기반 몬테카를로를 사용해 N = 6–8까지 스켈레톤 급수를 계산한다.
• 비틀림 없는 반복 계산이 발산하는 비물리적 영역에서 수렴을 안정화하기 위해 감쇠가 포함된 반복 해법을 사용한다.
• 자기에너지 함수의 물리적 및 비물리적 분지 간의 비교를 통해 올바른 수렴 경로와 잘못된 수렴 경로를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 상관관계를 가진 페르미온계에서 자기구속적인 many-body 섭동 이론이 N → ∞ 근처에서 정확한 물리적 전파함수로 수렴하는가?
• RQ2 정확한 해의 지식이 없이도, GN → G∞ ≠ G_exact인 잘못된 수렴이 탐지될 수 있는가?
• RQ3 스켈레톤 급수에서 비물리적 한계로의 수렴을 이끄는 수학적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 수정된 수열 기준(ξ > 1)은 물리적 수렴과 비물리적 수렴 영역을 얼마나 잘 구분하는가?
• RQ5 0차원 장난감 모델에서 관찰된 행동이 Hubbard 원자와 같은 현실적인 모델으로 일반화되는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 0차원 장난감 모델에서, 스켈레톤 급수의 형식적 수렴에도 불구하고 강한 상호작용 영역에서 수열 GN은 G∞ ≠ G_exact인 비물리적 한계로 수렴한다.
• 반-filled Hubbard 원자에서의 수치적 증거는 강한 상호작용 영역에서 GN이 역시 비물리적 한계로 수렴함을 강력히 시사하며, 이는 현실적인 모델에서 이 현상이 확인됨을 뒷받침한다.
• ξ > 1인 수정된 수열 기준은 잘못된 수렴을 성공적으로 탐지한다: GN이 비물리적일 경우 수열이 발산하지만, GN이 물리적일 경우 수렴 상태를 유지한다.
• 약한 상호작용 영역에서는 원래 수열(ξ = 1)이 G_exact로 수렴하고, 수정된 수열(ξ > 1)도 수렴 상태를 유지하므로 안정적인 수렴이 보장된다.
• 이 기준은 정확한 전파함수 G_exact의 지식이 없이도 잘못된 수렴을 신뢰성 있게 탐지할 수 있도록 한다.
• 비물리적 영역에서 반복 해법의 감쇠는 수렴을 위해 필수적이며, 그 강도는 N이 증가함에 따라 증가함을 보여주며, 비감쇠 방법의 불안정성을 시사한다.