[논문 리뷰] Physics-aware deep learning framework for linear elasticity

Arunabha M. Roy, Rikhi Bose|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 19.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 선형 탄성 문제를 solving하는 물리정보 기반 신경망(PINN) 프레임워크를 개발하며, PDE 잔차, 경계 조건, 구성 관계, 데이터 기반 용어를 강제하는 다중 목표 손실을 사용하고 각 필드 변수마다 독립적인 ANN을 두는 방식이다.

ABSTRACT

The paper presents an efficient and robust data-driven deep learning (DL) computational framework developed for linear continuum elasticity problems. The methodology is based on the fundamentals of the Physics Informed Neural Networks (PINNs). For an accurate representation of the field variables, a multi-objective loss function is proposed. It consists of terms corresponding to the residual of the governing partial differential equations (PDE), constitutive relations derived from the governing physics, various boundary conditions, and data-driven physical knowledge fitting terms across randomly selected collocation points in the problem domain. To this end, multiple densely connected independent artificial neural networks (ANNs), each approximating a field variable, are trained to obtain accurate solutions. Several benchmark problems including the Airy solution to elasticity and the Kirchhoff-Love plate problem are solved. Performance in terms of accuracy and robustness illustrates the superiority of the current framework showing excellent agreement with analytical solutions. The present work combines the benefits of the classical methods depending on the physical information available in analytical relations with the superior capabilities of the DL techniques in the data-driven construction of lightweight, yet accurate and robust neural networks. The models developed herein can significantly boost computational speed using minimal network parameters with easy adaptability in different computational platforms.

연구 동기 및 목표

• 선형 탄성의 물리 법칙을 딥러닝 프레임워크에 통합하여 견고하고 데이터 효율적인 해를 가능하게 한다.
• PDE 잔차, 경계 조건 및 구성 관계를 강제하는 다중 목표 손실을 개발한다.
• 전통적인 탄성 벤치마크를 풀이하여 경량의 정확한 신경망을 선보인다.
• 스마트 초기화와 해석 해가 학습 속도와 정확도를 높일 수 있음을 보여준다.
• 다양한 탄성 문제와 네트워크 아키텍처에 걸친 프레임워크의 적응성을 보여준다.

제안 방법

• 2D 탄성에서 각 필드 변수(u, σ, ε)를 독립적으로 밀집하게 연결된 ANN으로 근사한다.
• PDE 잔차, 경계 조건 패널티, 데이터 적합 항을 포함하는 다중 목표 손실 ΔL을 정의한다.
• ΔΩ, Δe, ΔΓu, ΔΓt 및 데이터 항을 통해 손실에 호환성, 평형 및 구성 관계를 내재화한다.
• PDE 잔차와 구성 방정식에 필요한 도함수를 계산하기 위해 자동 미분을 적용한다.
• 다양한 활성화 함수와 아키텍처를 조사하고, 학습 시간을 줄이기 위해 스마트 초기화를 사용한다.
• plane-stress end-loaded cantilever의 Airy 해 및 Kirchhoff–Love 얇은 판과 같은 벤치마크 문제를 풀어 정확성을 검증한다.

Figure 1 : PINNs network architecture for solving linear elasticity problem consisting of multi-ANN ( $\mathsf{NN}_{i}\,\forall\,i=1,k$ ) for each output variables $\tilde{\mathsf{u}}^{\mathsf{NN}}_{x}(\mbox{\boldsymbol{$x$}})$ , $\tilde{\mathsf{u}}^{\mathsf{NN}}_{y}(\mbox{\boldsymbol{$x$}})$ , $\ti

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PINN을 어떻게 구성하여 선형 탄성의 지배 방정식(호환성, 평형, 구성 관계)을 다중 목표 손실 내에서 강제할 수 있는가?
• RQ2 데이터 기반 물리 지식 항과 경계 조건 패널티를 포함하는 것이 탄성 문제의 정확성과 강인성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 변위, 응력, 변형률에 대한 독립적인 ANN이 2D 탄성에서 최소한의 네트워크 매개변수로도 정확한 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 신경망 아키텍처와 활성화 선택이 탄성 PINN의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 스마트 초기화와 해석적 해를 활용하여 학습을 가속하는 이점은 무엇인가?

주요 결과

• 다중 목표 PINN 프레임워크가 테스트된 탄성 문제들에 대해 analytical 해와 우수한 일치를 달성한다.
• u, σ, ε에 대한 독립적인 ANN이 동일한 PINN 프레임워크 내에서 각각의 필드를 정확하게 근사할 수 있다.
• 손실에 PDE 잔차, 구성 관계 및 경계 조건을 포함시키는 것이 표준 데이터 기반 방법에 비해 강인성을 향상시킨다.
• 스마트 초기화와 해석적 통찰은 정확성을 높이면서 학습 시간을 단축시킬 수 있다.
• 이 방법은 선형 탄성 테스트에 대한 전통적인 해법에 비해 계산 속도와 매개변수 효율성을 입증한다.

Figure 2 : (a) Elastic plane-stress problem for an end-loaded cantilever beam of length $L$ , height $2a$ and out-of-plane thickness $b$ which has been clamped at $x=L$ ; (b) distributions of total collocations points $N_{c}=5,000$ on the problem domain and various boundaries during PINNs training.