[논문 리뷰] Physics-Informed Neural Network for the Transient Diffusivity Equation in Reservoir Engineering

Daniel Badawi, Eduardo Gildin|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 29.

Model Reduction and Neural NetworksPhysics and Astronomy인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유정 주변의 급격한 압력 기울기로 인해 강성(stiffness)이 발생하는 유층 공 ingineering 분야의 일시적 확산 방정식을 해결하기 위해 물리 기반 신경망(PINN) 프레임워크를 제안한다. 도메인 분할 기법을 사용하여 강성 문제를 완화하고, 정확한 압력 및 유량 예측을 가능하게 한다. 이 방법은 압력 예측에서 상대 L2 오차가 0.2% 이하로 나타나며, 유정 정지가 필요 없는 조건에서 투과도 및 경계까지의 거리와 같은 유층 특성을 추정함으로써 실시간 유층 분석을 위한 역 문제 역할을 수행한다.

ABSTRACT

Physics-Informed machine learning models have recently emerged with some interesting and unique features that can be applied to reservoir engineering. In particular, physics-informed neural networks (PINN) leverage the fact that neural networks are a type of universal function approximators that can embed the knowledge of any physical laws that govern a given data-set in the learning process, and can be described by partial differential equations. The transient diffusivity equation is a fundamental equation in reservoir engineering and the general solution to this equation forms the basis for Pressure Transient Analysis (PTA). The diffusivity equation is derived by combining three physical principles, the continuity equation, Darcy's equation, and the equation of state for a slightly compressible liquid. Obtaining general solutions to this equation is imperative to understand flow regimes in porous media. Analytical solutions of the transient diffusivity equation are usually hard to obtain due to the stiff nature of the equation caused by the steep gradients of the pressure near the well. In this work we apply physics-informed neural networks to the one and two dimensional diffusivity equation and demonstrate that decomposing the space domain into very few subdomains can overcome the stiffness problem of the equation. Additionally, we demonstrate that the inverse capabilities of PINNs can estimate missing physics such as permeability and distance from sealing boundary similar to buildup tests without shutting in the well.

연구 동기 및 목표

• 유층 내에서 유정 근처의 급격한 압력 기울기로 인해 수치적 및 해석적 해법이 어려워지는 일시적 확산 방정식의 강성 문제를 해결한다.
• 지배 PDE와 경계 조건을 손실 함수에 직접 통합하여 메esh-free 해 근사 방법으로 물리 기반 신경망(PINN) 접근법을 개발한다.
• 유정 정지가 필요 없는 조건에서 생산률 기록 데이터만을 사용하여 투과도 및 밀봉 경계까지의 거리와 같은 알려지지 않은 유층 특성을 추정할 수 있는 PINN의 역 문제 역량을 입증한다.
• 기존 수치적 방법의 한계를 극복하여 시간과 공간에 걸쳐 압력 및 유량을 연속적이고 실시간으로 예측할 수 있도록 한다.
• 원형 유층에서 일정한 바닥부 압력 및 일정한 생산률 조건을 가진 2차원 반경 방향 유동에 대해 PINN 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• 확산 방정식 잔여항, 초기 조건, 경계 조건, 하위영역 경계에서의 연속성 제약 조건을 포함하는 복합 손실 함수를 최소화하도록 PINN를 훈련한다.
• 공간 영역을 세 개의 하위영역(유정 근처, 중간 영역, 멀리 떨어진 영역)으로 나누어 강성을 완화하고 훈련 안정성을 향상시키기 위해 도메인 분할 전략을 구현한다.
• 하위영역 경계에서 압력과 압력 기울기의 연속성을 손실 함수에 페널티 항을 도입하여 해의 매끄러움을 보장한다.
• 신경망 내에서 자동 미분를 활용하여 공간 및 시간에 대한 압력의 도함수를 계산함으로써 다르시의 법칙을 직접 적용하여 유량을 추정한다.
• 라벨이 부여된 시뮬레이션 또는 실험 데이터가 필요 없이, 오직 PDE와 경계 조건만을 사용하여 비지도 학습 방식으로 PINN를 훈련한다.
• 관측된 생산률 데이터를 활용하여 알려지지 않은 유층 매개변수(예: 투과도, 경계까지의 거리)를 훈련 가능한 변수로 간주하고, 훈련 과정에서 최적화하는 방식으로 역 문제 PINN 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리 기반 신경망(PINN)은 유정부근의 강성 기울기가 존재하는 한계적인 일차원 및 이차원 일시적 확산 방정식에 대해 정확한 해 근사를 수행할 수 있는가?
• RQ2 도메인 분할 기법은 다공성 매체에서 반경 방향 확산 방정식에 대한 PINN의 훈련 수렴성과 해의 정확도 향상에 얼마나 효과적인가?
• RQ3 유정 정지가 필요 없는 조건에서 생산률 기록 데이터만을 사용하여 PINN가 투과도 및 밀봉 경계까지의 거리와 같은 알려지지 않은 유층 특성을 얼마나 정확하게 추정할 수 있는가?
• RQ4 PINN 프레임워크는 시간에 따라 연속적이고 해석적 해와 유사한 압력 및 유량 해를 제공할 수 있는가? 이를 통해 실시간 유층 분석 및 즉각적인 예측이 가능한가?
• RQ5 일정한 바닥부 압력 및 일정한 생산률 조건에서, PINN 기반 접근법은 고정밀 수치 시뮬레이션과 비교해 어떤 정도의 정확도를 보이는가?

주요 결과

• 도메인 분할을 적용한 PINN는 일정한 바닥부 압력 및 일정한 생산률 조건에서 고정밀 수치 해와 비교해 압력 예측의 상대 L2 오차가 0.2% 미만으로 나타났다.
• PINN 프레임워크 내에서 다르시의 법칙과 자동 미분를 활용한 유량 예측은 고정밀 해와 비교해 상대 L2 오차가 1.5% 미만으로 나타났다.
• 역 문제 PINN는 유정 정지가 일반적으로 구축 또는 유량 잠정 시험에서 요구되는 조건 없이도 생산률 기록 데이터만을 사용하여 투과도 및 밀봉 경계까지의 거리를 성공적으로 추정하였다.
• 도메인 분할 방법은 유정 근처의 고기울기 영역을 전용 하위영역으로 분리함으로써 훈련 안정성과 해의 정확도를 크게 향상시켰다.
• PINN 프레임워크는 공간과 시간에 걸쳐 연속적이고 미분 가능한 해를 제공하여 이산적인 수치적 시간 단계에 의존하지 않고 즉각적인 압력 및 유량 예측이 가능했다.
• 이 방법은 다양한 경계 조건과 유동 제어 조건에서도 뛰어난 견고성을 보였으며, 선형 및 반로그 압력 플롯 모두에서 일관된 정확도를 유지하였다.