[논문 리뷰] Physics-informed neural networks for inverse problems in supersonic flows

Ameya D. Jagtap, Zhiping Mao외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 23.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 33인용 수 295

한 줄 요약

이 논문은 압축성 초음속 유동에서 어려운 역문제를 해결하기 위해 물리 기반 신경망(PINNs)과 그 확장된 영역 분할 버전인 XPINNs를 제안한다. 여기에는 오일러 방정식, 엔트로피 조건, 양성 제약 조건이 포함된다. XPINNs는 충격파와 팽창파 문제에서 국소적이고 고용량의 네트워크를 가능하게 하여 표준 PINNs보다 정확도가 뛰어나며, 복잡한 비연속적 해에 대한 향상된 성능을 뒷받침하는 이론적 일반화 경계가 있다.

ABSTRACT

Accurate solutions to inverse supersonic compressible flow problems are often required for designing specialized aerospace vehicles. In particular, we consider the problem where we have data available for density gradients from Schlieren photography as well as data at the inflow and part of wall boundaries. These inverse problems are notoriously difficult and traditional methods may not be adequate to solve such ill-posed inverse problems. To this end, we employ the physics-informed neural networks (PINNs) and its extended version, extended PINNs (XPINNs), where domain decomposition allows deploying locally powerful neural networks in each subdomain, which can provide additional expressivity in subdomains, where a complex solution is expected. Apart from the governing compressible Euler equations, we also enforce the entropy conditions in order to obtain viscosity solutions. Moreover, we enforce positivity conditions on density and pressure. We consider inverse problems involving two-dimensional expansion waves, two-dimensional oblique and bow shock waves. We compare solutions obtained by PINNs and XPINNs and invoke some theoretical results that can be used to decide on the generalization errors of the two methods.

연구 동기 및 목표

• 충격과 비연속성을 포함한 초음속 압축성 유동에서 잘 정의되지 않은 역문제를 해결하는 데 어려움을 해결한다.
• 전체 경계 조건과 큰 계산 영역이 필요한 전통적 수치 해석기법의 한계를 극복한다.
• 스클리에른 밀도 기울기와 부분 경계 조건과 같은 희소한 부분 데이터로부터 전체 유동 상태(밀도, 속도, 압력)를 추론하기 위해 메쉬 기반, 데이터 기반 접근법을 개발한다.
• 엔트로피 조건과 밀도 및 압력에 대한 양성 제약 조건을 통해 물리적 일관성을 확보하여 물리적으로 의미 있는 해를 보장한다.
• 복잡한 초음속 유동 구조에서 PINNs와 XPINNs의 예측 정확도와 일반화 성능을 비교한다.

제안 방법

• 메쉬 기반 해석 없이도 정방향 및 역문제를 해결할 수 있도록, 복합성 초음속 유동 방정식을 손실 함수에 직접 통합한 물리 기반 신경망(PINNs)을 사용한다.
• 공간적 영역 분할을 통해 PINNs를 XPINNs로 확장하여 충격과 같은 복잡한 유동 특징이 있는 부분 영역에서 국소적으로 최적화된 고용량 신경망을 가능하게 한다.
• 비연속성이 존재할 경우 물리적 일관성을 확보하기 위해 손실 함수에 엔트로피 조건을 추가 제약 조건으로 통합한다.
• 물리적으로 의미 없는 네트워크 출력을 방지하기 위해 밀도와 압력에 대한 양성 제약 조건을 강제한다.
• 훈련 안정성과 수렴성을 향상시키기 위해 적응형 활성화 함수와 동적 손실 가중치를 사용한다.
• 이전 연구에서 유도된 이론적 일반화 경계를 활용하여 PINNs와 XPINNs의 일반화 성능를 분석하고 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PINNs와 XPINNs는 스클리에른 밀도 기울기와 부분 경계 조건을 포함한 희소한 데이터로부터 전체 초음속 유동 상태(밀도, 속도, 압력)를 정확하게 재구성할 수 있는가?
• RQ2 XPINNs의 영역 분할 기법은 충격과 팽창파를 포함한 역문제에서 표준 PINNs에 비해 정확도와 일반화 성능을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 엔트로피 조건과 양성 제약 조건은 복합성 초음속 유동 역문제에서 PINN 기반 해의 물리적 정합성과 안정성을 어느 정도 향상시키는가?
• RQ4 적응형 활성화 함수와 동적 손실 가중치는 비연속성이 존재하는 상황에서 PINN 및 XPINN 해의 수렴성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반화 경계로부터 도출된 이론적 통찰은 복잡한 유동 시나리오에서 XPINNs가 PINNs보다 성능이 뛰어난 이유를 어떻게 뒷받침하는가?

주요 결과

• XPINNs는 기울기 충격, 팽창파, 버드 충격 문제와 같은 역문제에서 PINNs보다 유의미하게 높은 예측 정확도를 보이며, 밀도, 압력, 속도 필드의 점별 상대 오차가 낮게 나타난다.
• 고정된 활성화 함수와 고정된 가중치에 비해 적응형 활성화 함수와 동적 손실 가중치의 사용이 수렴성과 정확도를 향상시킨다.
• 엔트로피 조건과 밀도 및 압력에 대한 양성 제약 조건을 강제 적용함으로써 물리적으로 일관된 해를 도출할 수 있었으며, 특히 정확한 충격 구조를 포착하고 물리적으로 의미 없는 진동을 방지하는 데 중요하다.
• 이론적 일반화 경계는 각 부분 영역의 국소적 복잡도가 감소함에 따라 XPINNs가 더 나은 일반화 성능를 보임을 시사하며, 부분 영역당 데이터가 감소함에 따라 과적합 위험은 존재하지만 전체적으로는 성능 향상이 이루어진다.
• XPINNs의 영역 분할 기법은 충격파와 같은 고해상도 복잡도를 보이는 영역에서 국소적으로 강력한 네트워크를 구현할 수 있어 비연속적 특징의 더 정확한 해상도를 가능하게 한다.
• 버드 충격 문제에서는 XPINNs가 밀도 및 압력의 점별 상대 오차가 영역 전반에 걸쳐 항상 10^-3 이하로 유지되며 PINNs보다 뛰어난 성능을 보였다. PINNs는 비연속성 근처에서 높은 오차 집중 현상을 보였다.