[논문 리뷰] Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier$\unicode{x2013}$Stokes equations

Hamidreza Eivazi, Mojtaba Tahani외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 22.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 난류 모델링 가정 없이 비압축성 난류 유동에 대한 레이놀즈 평균 나비에르-스토크스(RANS) 방정식을 해결하기 위해 물리 기반 신경망(PINN) 프레임워크를 제안한다. 경계 데이터를 활용하고 자동 미분를 통해 RANS 방정식을 강제함으로써 높은 정확도를 달성한다—평균 속도 예측 오차는 3% 미만, 레이놀즈 스트레스 성분의 오차는 최대 28.18% 이내이며, 경계층, 날개형, 주기적 언덕과 같은 라미너 및 난류 흐름 사례 전반에서 뛰어난 성능을 입증한다.

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) are successful machine-learning methods for the solution and identification of partial differential equations (PDEs). We employ PINNs for solving the Reynolds-averaged Navier$\unicode{x2013}$Stokes (RANS) equations for incompressible turbulent flows without any specific model or assumption for turbulence, and by taking only the data on the domain boundaries. We first show the applicability of PINNs for solving the Navier$\unicode{x2013}$Stokes equations for laminar flows by solving the Falkner$\unicode{x2013}$Skan boundary layer. We then apply PINNs for the simulation of four turbulent-flow cases, i.e., zero-pressure-gradient boundary layer, adverse-pressure-gradient boundary layer, and turbulent flows over a NACA4412 airfoil and the periodic hill. Our results show the excellent applicability of PINNs for laminar flows with strong pressure gradients, where predictions with less than 1% error can be obtained. For turbulent flows, we also obtain very good accuracy on simulation results even for the Reynolds-stress components.

연구 동기 및 목표

• 명시적인 난류 모델 또는 닫힘 가정에 의존하지 않고 RANS 방정식을 해결하기 위한 데이터 기반 프레임워크를 개발하는 것.
• PINN가 경계 데이터와 지배 PDE만을 사용하여 비압축성 난류 유동을 정확하게 시뮬레이션할 수 있는지 조사하는 것.
• 복잡한 유동 특성(예: 분리 및 재접합)을 포함한 고전적 난류 흐름 구조에서의 방법 성능 평가.
• 도메인 내 학습 데이터 없이도 평균 흐름 양과 레이놀즈 스트레스 성분에 대한 PINN 예측 정확도 평가.
• 난류 시뮬레이션에서 레이놀즈 평균으로 인해 발생하는 부족한 조건 시스템을 해결하기 위한 PINN의 가능성 입증.

제안 방법

• 전결합 신경망(FNN)은 공간 좌표 (x, y)를 입력으로 받아 평균 흐름 변수인 축방향 및 벽에 수직 방향 속도(U, V), 압력(P), 레이놀즈 스트레스 성분(⟨u²⟩, ⟨uv⟩, ⟨v²⟩)을 예측한다.
• 자신의 출력의 공간 도함수를 계산하기 위해 자동 미분(AD)을 적용하여 RANS 방정식 잔차를 구성하며, 이는 비지도 손실으로 기능한다.
• 경계에서 측정된 데이터를 사용하여 경계에서만 지도 학습 손실을 계산한다: 속도, 압력, 레이놀즈 스트레스 성분.
• 총 손실 함수는 도메인 경계에서의 지도 학습 손실과 도메인 내 및 경계에 있는 콜로케이션 포인트에서의 RANS 방정식 잔차 비지도 손실을 조합한다.
• 레이놀즈 수는 지배 방정식을 통해 강제되며, 기울기 기반 최적화를 통해 종단 간 학습이 수행된다.
• 프레임워크는 네 가지 테스트 케이스에 적용된다: 팔크너-스칸 경계층(라미너), 압력 기울기 없음(ZPG) 및 부정적 압력 기울기(APG) 난류 경계층, NACA4412 날개형, 주기적 언덕.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PINN가 난류 모델이나 닫힘 가정 없이 비압축성 난류 유동에 대한 RANS 방정식을 정확하게 해결할 수 있는가?
• RQ2 학습에 경계 데이터만을 사용할 경우 PINN가 평균 흐름과 레이놀즈 스트레스 성분을 얼마나 잘 예측할 수 있는가?
• RQ3 주기적 언덕 위의 난류 흐름처럼 분리 및 재접합과 같은 복잡한 유동 특성을 PINN가 어느 정도 정확하게 포착할 수 있는가?
• RQ4 다양한 흐름 구조에서 PINN 예측 정확도가 고해상도 DNS나 LES 데이터와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 경계 데이터와 RANS 방정식 잔차 강제화 중 어느 것이 더 높은 정확도 솔루션 달성에 기여하는가?

주요 결과

• 강한 압력 기울기를 가진 라미너 팔크너-스칸 경계층의 경우, PINN는 1% 미만의 오차로 예측을 달성하여 도전적인 라미너 케이스에서도 높은 정확도를 입증한다.
• 압력 기울기 없음(ZPG) 난류 경계층의 경우, 예측된 모든 변수에 대한 평균 상대 ℓ₂-노름 오차는 3.91%였으며, 강력한 예측 능력을 보였다.
• 부정적 압력 기울기(APG) 경계층의 경우, 평균 상대 ℓ₂-노름 오차는 3.60%였으며, 분리 조건에서도 견고한 성능을 보였다.
• NACA4412 날개형의 경우, 축방향 속도 예측 오차는 3% 이하였고, 유동 구조와 압력 분포에서 양호한 일치를 보였다.
• Re_b = 2,800인 주기적 언덕 케이스에서 PINN 모델은 분리된 유동 영역과 재접합 지점을 정확히 예측하였으며, 축방향 속도에 대한 상대 ℓ₂-노름 오차는 2.77%였다.
• ⟨u²⟩ 성분에서 가장 높은 오차(28.18%)가 관찰되었으며, 이는 레이놀즈 스트레스 성분이 여전히 더 예측하기 어려운 편임을 시사하지만, 많은 공학적 응용 분야에서 허용 가능한 수준 내에 있다.