[논문 리뷰] Pictures of Processes: Automated Graph Rewriting for Monoidal Categories and Applications to Quantum Computing

Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 01.

Scientific Computing and Data Management참고 문헌 57인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 모나이드 범주 내의 스트링 다이어그램을 위한 이산적이고 계산적으로 다룰 수 있는 형식 체계로 스트링 그래프를 도입한다. 이를 통해 이중-푸시아웃 그래프 리라이팅을 자동화할 수 있다. 이는 자유 대칭 추적 및 컴 pact 닫힌 범주를 구성하는 기초를 마련하며, !-상자와 귀납적 추론을 사용하여 다중편성 얽힘의 그래픽 이론을 개발하고 강력히 보완되는 관측 가능성을 분류함으로써 양자 컴퓨팅에 적용된다.

ABSTRACT

This work is about diagrammatic languages, how they can be represented, and what they in turn can be used to represent. More specifically, it focuses on representations and applications of string diagrams. String diagrams are used to represent a collection of processes, depicted as "boxes" with multiple (typed) inputs and outputs, depicted as "wires". If we allow plugging input and output wires together, we can intuitively represent complex compositions of processes, formalised as morphisms in a monoidal category. [...] The first major contribution of this dissertation is the introduction of a discretised version of a string diagram called a string graph. String graphs form a partial adhesive category, so they can be manipulated using double-pushout graph rewriting. Furthermore, we show how string graphs modulo a rewrite system can be used to construct free symmetric traced and compact closed categories on a monoidal signature. The second contribution is in the application of graphical languages to quantum information theory. We use a mixture of diagrammatic and algebraic techniques to prove a new classification result for strongly complementary observables. [...] We also introduce a graphical language for multipartite entanglement and illustrate a simple graphical axiom that distinguishes the two maximally-entangled tripartite qubit states: GHZ and W. [...] The third contribution is a description of two software tools developed in part by the author to implement much of the theoretical content described here. The first tool is Quantomatic, a desktop application for building string graphs and graphical theories, as well as performing automated graph rewriting visually. The second is QuantoCoSy, which performs fully automated, model-driven theory creation using a procedure called conjecture synthesis.

연구 동기 및 목표

• .
• 스트링 다이어그램을 자동 리라이팅을 지원하면서도 직관적인 그래픽적 구조를 유지하는 이산적이고 계산적으로 다룰 수 있는 형식 체계를 개발한다.
• 이 형식 체계를 양자 정보 이론에 적용하여, 특히 얽힘과 보완되는 관측 가능성을 분류한다.
• 패턴 그래프와 !-상자를 사용한 추측 생성 및 쿤스-벤딕스 완성법을 통해 그래픽적 항등식의 자동 발견을 가능하게 한다.
• 자연수 표현에 연결된 !-상자를 사용한 귀납적 추론을 통해 그래픽적 추론을 확장한다.

제안 방법

• .
• 이중-푸시아웃 그래프 리라이팅을 지원하기 위해 스트링 그래프를 부분 적응 범주로 도입한다.
• 과정의 조합과 리라이팅을 모델링하기 위해 스트링 그래프 위의 코스팬을 정의한다.
• 리라이팅 범주를 사용하여 모나이드 서명에서 자유 대칭 추적 및 컴팩트 닫힌 범주를 구성한다.
• !-상자를 사용해 무한한 그래프 집합을 표현하고, 이를 바탕으로 귀납적 추론을 가능하게 한다.
• 추측 생성과 쿤스-벤딕스 완성법을 스트링 그래프 환경에 적응시켜 자동 규칙 생성을 구현한다.
• 정규 표현식을 초월하는 더 rich한 언어를 기술하기 위해 그래프 문법을 사용한 메타-리라이팅 시스템을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 .
• RQ2 어떻게 스트링 다이어그램을 자동 리라이팅을 지원하면서도 직관적인 그래픽적 구조를 유지하는 방식으로 형식화할 수 있는가?
• RQ3 스트링 그래프를 사용하여 모나이드 서명에서 자유 대칭 추적 및 컴팩트 닫힌 범주를 구성하는 데 필요한 범주론적 기초는 무엇인가?
• RQ4 그래픽 언어는 양자역학에서 다중편성 얽힘과 강력히 보완되는 관측 가능성을 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ5 패턴 그래프와 !-상자를 사용한 추측 생성을 그래픽 이론으로 확장할 수 있는가?
• RQ6 구조화된 규칙 적용과 추론 규칙을 통해 그래픽 언어에서 귀납적 추론을 어떻게 형식화할 수 있는가?

주요 결과

• .
• 스트링 그래프는 부분 적응 범주를 이룬다. 이는 그래픽 언어에 대해 엄밀한 이중-푸시아웃 리라이팅을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 코스팬과 리라이팅 시스템을 통해 모나이드 서명에서 자유 대칭 추적 및 컴팩트 닫힌 범주를 구성하는 데에 기여한다.
• 차원 D에서의 강력히 보완되는 관측 가능성을 최대한으로 포함하는 집합의 크기는 2 이하이며, 순서 D의 아벨 군과 1대1 대응된다.
• !-상자 사용은 무한한 그래픽 항등식 집합의 압축된 표현을 가능하게 하고, 이를 바탕으로 귀납적 추론을 수행할 수 있다.
• 추측 생성과 쿤스-벤딕스 완성법을 사용한 패턴 그래프 리라이팅은 더 강력하고 일반적인 리라이팅 규칙을 생성할 수 있으며, 검색 공간을 줄이고 자동화를 향상시킨다.
• !-상자에 대한 귀납적 추론을 위한 새로운 추론 규칙을 도입함으로써, 등식 완성만으로는 발견할 수 없는 새로운 항등식 유도가 가능해졌다.