[논문 리뷰] Piecewise Divergence-Free $H( extrm{div})$-Nonconforming Virtual Elements for Stokes Problem in Any Dimensions

Huayi Wei, Xuehai Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 04.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 24인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원에서 스토크스 문제에 대해 발산이 없는 비정규 가상요소 방법을 $H(\textrm{div})$-정규 프레임워크를 사용하여 제안한다. 국소 에너지 프로젝터를 도입하여 발산 연산자와 가환되게 하고, 커널 상에서 안정화 노름 등가성을 확보함으로써, 엄밀한 오차 분석과 함께 최적 수렴 속도를 달성하며, 이는 이산 인프-서프 안정성까지 포함된다.

ABSTRACT

Piecewise divergence-free $H( extrm{div})$-nonconforming virtual elements are designed for Stokes problem in any dimensions. After introducing a local energy projector based on the Stokes problem and the stabilization, a divergence-free nonconforming virtual element method is proposed for Stokes problem. A detailed and rigorous error analysis is presented for the discrete method, including the norm equivalence of the stabilization on the kernel of the local energy projector, the interpolation error estimate, the discrete inf-sup condition, and the optimal error estimate of the discrete method. An important property in the analysis is that the local energy projector commutes with the divergence operator. A reduced virtual element method is also discussed. Numerical results are provided to verify the theoretical convergence.

연구 동기 및 목표

• 조각별로 발산이 없는 속도 근사치를 강제하는 안정적이고 비정규 가상요소 방법을 개발하기 위해.
• 발산 연산자와 가환되는 국소 에너지 프로젝터를 구축하여 커널 근사치의 정확성을 보장하기 위해.
• 국소 에너지 프로젝터의 커널 상에서 안정화 항의 노름 등가성을 증명하여 방법의 안정성을 확보하기 위해.
• 보간과 이산 인프-서프 조건을 통해 속도와 압력에 대한 최적 오차 추정을 유도하기 위해.
• 계산 효율성을 향상시키기 위해 감소된 가상요소 설정으로 프레임워크를 확장하기 위해.

제안 방법

• 국소 에너지 프로젝터를 스토크스 문제를 바탕으로 구성하여 가상요소 함수를 발산이 없는 부분공간에 투영한다.
• 국소 에너지 프로젝터의 커널 상에서 에너지 노름과 동일한 노름을 가지도록 안정화 항을 설계하여 안정성을 확보한다.
• 발산을 약간만 만족하는 조건을 강제하기 위해 $H(\textrm{div})$-정규 자유도를 사용하는 비정규 가상요소 공간을 활용한다.
• 발산 연산자와 가환되는 프로젝터의 성질을 활용하여 이산 인프-서프 조건을 증명한다.
• 기저 함수의 명시적 지식 없이도 이차형식을 계산할 수 있도록 일관된 안정화 항을 이산 형식에 통합한다.
• 일부 자유도를 제거하여 감소된 가상요소 변형을 도입함으로써 시스템을 단순화하면서도 수렴성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차원에서 정확히 발산이 없는 속도 근사치를 제공하는 비정규 가상요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 국소 에너지 프로젝터는 발산 연산자와 가환되는가? 이 성질은 방법의 안정성과 수렴성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 국소 에너지 프로젝터의 커널 상에서 안정화 항이 에너지 노름과 노름 등가인가?
• RQ4 이산 방법에서 속도와 압력 근사치의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 계산 비용을 낮추면서도 최적 수렴 속도를 유지할 수 있는 감소된 가상요소 설정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 에너지 프로젝터가 발산 연산자와 가환되며, 이는 발산이 없는 가상요소의 구성에 필수적인 성질이다.
• 안정화 항이 국소 에너지 프로젝터의 커널 상에서 에너지 노름과 노름 등가임이 입증되어 최적 안정성이 보장된다.
• 속도와 압력 근사치에 대해 순서 $h^k$의 최적 오차 추정이 확립되었으며, 여기서 $k$는 가상요소 공간의 다항식 차수이다.
• 이산 인프-서프 조건이 성립함이 증명되어 이산 문제의 잘 정의됨이 보장된다.
• 감소된 가상요소 방법은 최적 수렴 속도를 유지하면서도 자유도의 수를 줄인다.
• 수치 결과는 표준 및 감소된 설정 모두에서 이론적 수렴 속도를 확인한다.