[논문 리뷰] Pinned distance problem, slicing measures and local smoothing estimates

Alex Iosevich, Bochen Liu|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\dd$ 에서 푸리에 적분 연산자(Fourier integral operators)에 대한 局소 스무딩 추정을 사용하여 펄스-슐라그의 고정된 거리 문제를 개선한다. $\dd$ 집합 $E$ 와 $F$ 에 대해 $\dim_{\mathcal{H}}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal{H}}(F) > d-1+\beta$ 이면, $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\dim_{\mathcal{H}}(\Delta^y(E)) \geq \beta$ 를 증명한다. 이와 유사한 결과들이, 프랑-스타인 및 시네마틱 곡률 조건 하에, 양의 르베그 측도 및 내부가 비어있지 않은 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We improve the Peres-Schlag result on pinned distances in sets of a given Hausdorff dimension. In particular, for Euclidean distances, with $$Δ^y(E) = \{|x-y|:x\in E\},$$ we prove that for any $E, F\subset{\Bbb R}^d$, there exists a probability measure $μ_F$ on $F$ such that for $μ_F$-a.e. $y\in F$, (1) $\dim_{\mathcal H}(Δ^y(E))\geqβ$ if $\dim_{\mathcal H}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F) > d - 1 + β$; (2) $Δ^y(E)$ has positive Lebesgue measure if $\dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F) > d$; (3) $Δ^y(E)$ has non-empty interior if $\dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F) > d+1$. We also show that in the case when $\dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F)>d$, for $μ_F$-a.e. $y\in F$, $$ \left\{t\in{\Bbb R} : \dim_{\mathcal H}(\{x\in E:|x-y|=t\}) \geq \dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d+1}{d-1}\dim_{\mathcal H}(F)-d ight\} $$ has positive Lebesgue measure. This describes dimensions of slicing subsets of $E$, sliced by spheres centered at $y$. In our proof, local smoothing estimates of Fourier integral operators (FIO) plays a crucial role. In turn, we obtain results on sharpness of local smoothing estimates by constructing geometric counterexamples.

연구 동기 및 목표

• 주어진 하우스도르프 차원을 가진 집합에서 고정된 거리 문제에 대한 펄스-슐라그 결과를 개선하기 위해 곡률 조건을 통합하는 것.
• 고정된 거리 집합 $\Delta^y(E)$ 가 양의 르베그 측도 또는 비어있지 않은 내부를 가지기 위한 차원 임계값을 설정하는 것.
• 고정된 거리 문제를 국소 스무딩 추정을 가진 푸리에 적분 연산자(FIO)와 연결하는 것.
• 국소 스무딩 추정의 날카운 성질을 시험하기 위해 기하적 역예를 구성하는 것.
• 유클리드 거리에서 일반 함수 $\Phi$ 로 결과를 확장하는 것. 이 함수는 프랑-스타인 및 시네마틱 곡률 조건을 만족한다.

제안 방법

• 거리 집합의 크기를 제어하기 위한 중심적인 분석 도구로 국소 스무딩 추정을 가진 푸리에 적분 연산자(FIO)를 사용하는 것.
• FIO 커널의 $L^2$-노름을 유계로 만들기 위해 $L^p$-기반 제약 추정과 헬더 부등식을 적용하는 것.
• 주파수 국소화를 통해 조각별 주파수 링을 이용해 측도 $\mu_E$, $\mu_F$ 를 분해하여 감쇠성과 차원을 분석하는 것.
• 레벨 집합의 비퇴화 곡률을 확보하기 위해 프랑-스타인의 회전 곡률 조건과 소지의 시네마틱 곡률 조건을 사용하는 것.
• 정적 위상과 $L^2$-제약 이론을 통해 조화적 적분을 추정하여 차원 경계를 도출하는 것.
• 유도된 차원 임계값의 날카운 성질을 시험하기 위해 곱집합과 $\Phi$ 의 레벨 집합을 이용한 역예를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 거리 집합의 차원이 $\dim_{\mathcal{H}}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal{H}}(F) > d-1 + \beta$ 를 만족할 때, $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\dim_{\mathcal{H}}(\Delta^y(E)) \geq \beta$ 가 되는 날카운 임계값은 무엇인가요?
• RQ2 어떤 곡률 조건 하에서 $\Phi$ 가 $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $|\Delta^y(E)| > 0$ 를 보장할 수 있나요?
• RQ3 $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\Delta^y(E)$ 가 비어있지 않은 내부를 가지기 위한 조건은 무엇인가요?
• RQ4 국소 스무딩 추정과 FIO는 $E$ 의 절삭 측도의 차원과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ5 유도된 차원 임계값은 날카로운가요? 기하적 역예로 이에 대한 날카운 성질을 입증할 수 있나요?

주요 결과

• 고정된 거리 집합의 차원이 $\dim_{\mathcal{H}}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal{H}}(F) > d-1 + \beta$ 를 만족하면, $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\dim_{\mathcal{H}}(\Delta^y(E)) \geq \beta$ 이다.
• $\dim_{\mathcal{H}}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal{H}}(F) > d$ 이면, $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\Delta^y(E)$ 는 양의 르베그 측도를 가진다.
• $\dim_{\mathcal{H}}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal{H}}(F) > d+1$ 이면, $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\Delta^y(E)$ 는 비어있지 않은 내부를 가진다.
• $\mu_F$-거의 모든 $y \in F$ 에 대해 $\{t \in \mathbb{R} : \dim_{\mathcal{H}}(\{x \in E : |x-y| = t\}) \geq \dim_{\mathcal{H}}(E) + \frac{d+1}{d-1}\dim_{\mathcal{H}}(F) - d\}$ 는 양의 르베그 측도를 가진다.
• 기하적 역예는 유도된 임계값이 날카로움을 보여주며, 특히 $\Phi(x,y) = x \cdot y$ 가 곡률 가정에 의해 배제될 경우에 특히 뚜렷하다.