[논문 리뷰] Planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles

Yongxin Lan, Yongtang Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 04.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 평면 삼각분할에서 경로와 순환의 평면 반-람지 수를 조사하여, $k \geq 8$인 경로 $P_k$에 대해 향상된 하한을 확립하고, $k \geq 5$인 순환 $C_k$에 대해 기존의 하한을 향상시키며, 간선 색칠의 구조적 분석과 국소 정점 색상 수를 활용하여 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ 및 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$에 대한 새로운 상한을 유도한다.

ABSTRACT

Motivated by anti-Ramsey numbers introduced by Erdős, Simonovits and Sós in 1975, we study the anti-Ramsey problem when host graphs are plane triangulations. Given a positive integer $n$ and a planar graph $H$, let $\mathcal{T}_n(H)$ be the family of all plane triangulations $T$ on $n$ vertices such that $T$ contains a subgraph isomorphic to $H$. The planar anti-Ramsey number of $H$, denoted $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$, is the maximum number of colors in an edge-coloring of a plane triangulation $T\in \mathcal{T}_n(H)$ such that $T$ contains no rainbow copy of $H$. Analogous to anti-Ramsey numbers and Turán numbers, planar anti-Ramsey numbers are closely related to planar Turán numbers, where the planar Turán number of $H$ is the maximum number of edges of a planar graph on $n$ vertices without containing $H$ as a subgraph. The study of $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$ (under the name of rainbow numbers) was initiated by Horňák, Jendrol$'$, Schiermeyer and Soták [J Graph Theory 78 (2015) 248--257]. In this paper we study planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles. We first establish lower bounds for $ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$ when $n\ge k\ge8$. We then improve the existing lower bound for $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$ when $k\geq 5$ and $n\geq k^2-k$. Finally, using the main ideas in the above-mentioned paper, we obtain upper bounds for $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_6)$ when $n\ge8$ and $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_7)$ when $n\geq 13$, respectively.

연구 동기 및 목표

• 평면 삼각분할에서 경로 $P_k$ 및 순환 $C_k$에 대한 평면 반-람지 수 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$를 연구한다.
• $n \geq k \geq 8$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$에 대한 기존 하한을 향상시킨다.
• $k \geq 5$ 및 $n \geq k^2 - k$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$에 대한 하한을 보완한다.
• $n \geq 8$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$에 대한 새로운 상한을 확립하고, $n \geq 13$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$에 대한 새로운 상한을 유도한다.
• 삼각분할의 구조적 및 색칠 제약 조건을 통해 평면 반-람지 수와 평면 투란 수를 연결한다.

제안 방법

• $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$를 평면 삼각분할에서 $n$개 정점을 가진 그래프의 간선 색칠에서 $H$의 레인보우 복제본을 피하는 최대 색상 수로 정의한다.
• $\mathcal{H} = \{H-e \mid e \in E(H)\}$ 이면 $1 + ex_{{}_{\mathcal{P}}}(n, \mathcal{H}) \leq ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H) \leq ex_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$ 라는 관계를 사용하여 반-람지 수를 유계로 둔다.
• 정점의 차수 $d \geq 5$ 또는 $d \geq 6$ 인 곳에서 국소 색상 분포를 분석하여, 레인보우 $C_6$ 또는 $C_7$를 피하는 휠 부분그래프 $W_d$에서의 최대 색상 수를 활용한다.
• $|c(v)|$를 정점 $v$에 인접한 서로 다른 색상의 수로 정의하고, $4m \leq \sum_{v \in V(T)} |c(v)|$ 를 통해 이중 세기 기법을 적용하여 전역적 유계를 도출한다.
• 정점의 차수와 색상 수에 기반한 부등식을 사용하여, 총 색상 수 $m$을 $n$에 대한 함수로 유계로 둔다.
• 기존의 평면 투란 수 결과를 활용하고, 간선 색칠의 표현 프레임워크를 통해 유계를 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n \geq k \geq 8$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$에 대한 최적의 하한은 무엇인가?
• RQ2 $k \geq 5$ 및 $n \geq k^2 - k$ 인 경우 기존의 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ 하한은 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 $n \geq 8$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$에 대한 상한은 무엇으로 설정할 수 있는가?
• RQ4 $n \geq 13$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$에 대한 상한은 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 순환에 대한 평면 반-람지 수는 그들의 평면 투란 수 및 국소 색칠 제약 조건과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 $n \geq k \geq 8$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$에 대해 새로운 하한을 확립하여 이전 결과를 향상시켰다.
• 순환에 대해서는 $k \geq 5$ 및 $n \geq k^2 - k$ 인 경우 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$에 대한 기존 하한을 향상시켰다.
• $n \geq 8$ 인 모든 $n$에 대해 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6) \leq 17(n-2)/6$ 라는 상한이 증명되었다.
• $n \geq 13$ 인 모든 $n$에 대해 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7) \leq (59n - 113)/20$ 이라는 상한이 확립되었다.
• 저자들은 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ 가 $17(n-2)/6$ 이하로 유계로 둔다는 것을 보였으며, 이는 이전 추정치보다 더 날카롭다.
• 결과들은 정점 기반 색상 수 계산 및 휠과 삼각분할에 대한 구조적 제약 조건을 통해 도출되었으며, 각 정점의 차수에 따라 색상 집합의 크기에 대한 명시적 종속 유계가 제시되었다.