[논문 리뷰] Planar kinematic invariants, matroid subdivisions and generalized Feynman diagrams

Nick Early|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 29인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ 앰피티드의 일반화된 운동학적 불변량에 대한 평면 기저를 도입하여, 매트로이드 분할에 작용하는 경계 연산자를 통해 극의 호환성에 대한 조합론적 기준을 가능하게 한다. 이를 매트로이드 분할에 대한 경계 연산자를 사용하여 Mathematica에 구현하여 비음성 토폴로지 그라스만이안의 최대 콘을 계산하였으며, $\mathrm{Trop}_+(3,8)$에 대해 13,612개, $\mathrm{Trop}_+(3,9)$에 대해 346,710개, $\mathrm{Trop}_+(4,8)$에 대해 90,608개를 구하였고, 이는 이전 결과와 일치하며 분모 차수에 따라 일반화된 파이먼 다이어그램을 세는 데 기여한다.

ABSTRACT

In recent work of Cachazo, Guevara, Mizera and the author, a generalization of the biadjoint scattering amplitude $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ was introduced as an integral over the moduli space of $n$ points in $\mathbb{CP}^{k-1}$, with value a sum of certain rational functions on the kinematic space $\mathcal{K}_{k,n}$. It was shown there for $m^{(3)}(\mathbb{I}_6,\mathbb{I}_6)$ and later by Cachazo and Rojas that collections of poles appearing in $m^{(3)}(\mathbb{I}_7,\mathbb{I}_7)$ are compatible exactly when they are dual to collections of rays which generate the maximal faces of a polyhedral complex known as the (nonnegative) tropical Grassmannian. In this note, we derive a remarkable planar basis for the space of generalized kinematic invariants which coincides in the case $k=2$ with usual standard planar multi-particle basis for the kinematic space. We implement in Mathematica the action on formal linear combinations of planar matroid subdivisions of a boundary operator which, together with the planar basis, determines compatibility for any given poles appearing in the expansion of $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$, by computing a certain combinatorial non-crossing condition on the second hypersimplicial faces $Δ_{2,n-(k-2)}$ of $Δ_{k,n}$. The algorithms are implemented in an accompanying Mathematica notebook and are evaluated on existing tables of rays, in the form of tropical Plucker vectors, to tabulate the finest planar subdivisions of $Δ_{3,8},Δ_{3,9}$ and $ Δ_{4,8}$, or equivalently the set of maximal cones for the corresponding nonnegative tropical Grassmannians.

연구 동기 및 목표

• k=2인 경우에 대한 표준 평면 기저를 고차원 k로 일반화한 $\mathcal{K}_{k,n}$ 상의 선형 함수형에 대한 평면 기저를 개발하는 것.
• 매트로이드 분할에 대한 경계 연산자를 사용하여 일반화된 이이접점 앰피티드 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$에서 극의 호환성에 대한 조합론적 기준을 제공하는 것.
• 두 번째 초단체 면 $\Delta_{2,n-(k-2)}$에서 스테인만 관계를 점검하는 알고리즘을 Mathematica에 구현하여 극의 호환성을 판단하는 것.
• $\Delta_{3,8}, \Delta_{3,9}, \Delta_{4,8}$의 최대 평면 분할을 세는 것. 이는 비음성 토폴로지 그라스만이안 $\mathrm{Trop}_+(3,8)$, $\mathrm{Trop}_+(3,9)$, $\mathrm{Trop}_+(4,8)$의 최대 콘에 해당한다.

제안 방법

• 비동결 k-원소 부분집합 $J \subset \{1,\dots,n\}$로 구성된 $\mathcal{K}_{k,n}$에 대한 평면 기저 $\eta_J$를 정의한다. 이들은 순환 간격이 아님.
• 각 토폴로지 플루커 벡터를 $\mathcal{K}_{k,n}$ 상의 선형 함수형으로 표현한 후, 평면 기저 $\eta_J$에 대해 전개한다.
• 전개식 내의 각 $\eta_J$를 그 곡률 $\beta_J$로 대체하여 곡률 함수형을 구성한다.
• 경계 연산자 $\sum_{L \in \binom{[n]}{n-(k-2)}} \partial_{(L,1)}$를 곡률 함수형에 적용하여, 두 번째 초단체 면 $\partial_L(\Delta_{k,n}) \simeq \Delta_{2,n-(k-2)}$로 제한한다.
• 각 면에서 극 쌍에 대해 네 항 스테인만 관계가 성립하는지 점검한다.
• 수득한 호환성 조건을 사용하여 최대 호환 가능한 평면 기저 원소 집합을 세며, 이는 비음성 토폴로지 그라스만이안의 최대 콘에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 이이접점 앰피티드의 맥락에서 $k=2$에서 고차원 $k$로 운동학적 불변량의 평면 기저를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $k \geq 3$인 경우 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$에서 극 간 호환성을 보장하는 조합론적 기준은 무엇인가?
• RQ3 평면 기저와 경계 연산자를 사용하여 비음성 토폴로지 그라스만이안 $\mathrm{Trop}_+(k,n)$의 최대 콘을 체계적으로 세는 것이 가능한가?
• RQ4 다양한 $k$와 $n$에 대해 분모 차수에 따라 매개변수화된 일반화된 파이먼 다이어그램의 수는 어떻게 분포하는가?
• RQ5 평면 기저와 호환성 점검 결과가 기존에 알려진 $\mathrm{Trop}_+(k,n)$의 최대 콘 수를 얼마나 잘 재현하는가?

주요 결과

• 운동학 공간 $\mathcal{K}_{k,n}$에 대한 평면 기저 $\eta_J$는 비동결 k-원소 부분집합 $J \subset \{1,\dots,n\}$로부터 구성되며, $k=2$인 경우의 표준 평면 기저를 일반화한다.
• $\mathrm{Trop}_+(3,8)$의 최대 콘 수는 13,612개이며, CachazoPlanarCollections의 결과와 일치한다.
• $\mathrm{Trop}_+(3,9)$의 최대 콘 수는 346,710개이며, 옌그 저우가 공유한 데이터셋에서 유래한 1,140개의 반사선을 사용하여 계산되었다.
• $\mathrm{Trop}_+(4,8)$의 최대 콘 수는 90,608개이며, CachazoPlanarCollections의 이전 결과와 일치한다.
• $m^{(3)}(\mathbb{I}_8,\mathbb{I}_8)$의 경우, 분모 차수 $d$에 따른 일반화된 파이먼 다이어그램의 분포는 다음과 같다: $d=8$일 때 9,672개, $d=9$일 때 1,696개, $d=10$일 때 1,092개이며, $d=17$일 때 8개로 감소한다.
• 알고리즘이 기존에 알려진 $\mathrm{Trop}_+(k,n)$의 최대 콘 수를 성공적으로 재현하여, 두 번째 초단체 면에서의 스테인만 관계에 기반한 호환성 기준이 검증되었다.