[논문 리뷰] Planar open book decompositions and contact structures

John B. Etnyre|ArXiv.org|2004. 04. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 3차원 다중체 위의 모든 오버틀라프트(contact) 구조가 평면(open book) 분해에 의해 지지되지만, 모든 contact 구조가 그렇지는 않다는 것을 증명한다. 이는 평면 open book에 의해 지지되는 contact 다양체의 심플렉틱 필링이 반드시 0인 양의 및 열화된 두 번째 베텨리 수(betti number)를 가져야 하며, 경계가 호모로지 구면이라면 교차 형식(intersection form)이 대각화 가능해야 한다는 것을 증명한다. 이는 특정 contact 구조, 특히 Poincaré 호모로지 구면 위의 타이트한(contact) 구조와 일부 심플렉틱적으로 필링 가능한 구조에 대해 평면 지지의 강력한 금기 조건을 제공한다.

ABSTRACT

In this note we observe that while all overtwisted contact structures on compact 3--manifolds are supported by planar open book decompositions, not all contact structures are. This has relevance to invariants of contact structures and also to the Weinstein conjecture via work of Abbas Cieliebak and Hofer.

연구 동기 및 목표

• 모든 3차원 다중체 위의 contact 구조가 평면 open book 분해에 의해 지지될 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• contact 구조가 평면 open book에 의해 지지될 수 없는 기하학적 및 위상수학적 금기 조건을 규명하는 것.
• 평면 open book 지지가 Weinstein 추측과 contact 불변량에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 평면 open book에 의해 지지되지 않는 contact 구조를 구별하는 심플렉틱 필링의 금기 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• Giroux의 contact 구조와 open book 분해 사이의 대응을 사용하여 지지하는 open book의 단조미와 위상수학적 성질을 분석하는 것.
• 평면 open book의 바인딩에 2-핸들을 부착하여 심플렉틱 구조를 유지하는 심플렉틱 필링을 구성하는 것.
• McDuff의 정리(심플렉틱 4차원 다중체가 심플렉틱 구면으로 피브리레이션된 경우)를 적용하여, 닫힌 심플렉틱 다중체가 규칙 표면의 블로우업임을 보이는 것.
• 자기 교차 수가 0인 임베딩된 구면을 구성하고 그 호모로지 클래스를 사용하여 필링의 교차 형식을 분석하는 것.
• 심플렉틱 필링의 다중 경계 성분을 封합(capping off)하고, 양의 베텰리 수가 0이 아니면 모순을 도출하는 것.
• contact 연결 합과 Murasugi 합에 따른 $d_3$ 불변량의 가역성을 이용하여 임의의 오버틀라프트 contact 구조에 대한 평면 open book를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 3차원 다중체 위의 모든 contact 구조가 평면 open book 분해에 의해 지지되는가?
• RQ2 contact 구조가 평면 open book에 의해 지지되지 못하는 심플렉틱 불변량은 무엇인가?
• RQ3 모든 contact 구조에 대해 평면 open book 분해를 사용하여 Weinstein 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ4 평면 open book에 의해 지지되는 contact 다양체의 심플렉틱 필링에 대한 위상수학적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 지지하는 open book의 최소 위상수학적 종수(genus)를 유계화할 수 있으며, 모든 contact 구조에 대해 종수 1이 충분한가?

주요 결과

• 닫힌 3차원 다중체 위의 모든 오버틀라프트(contact) 구조는 평면 open book 분해에 의해 지지된다.
• 만약 contact 3다중체 $(M,\tau)$가 평면 open book에 의해 지지되고 심플렉틱 필링 $X$를 갖는다면, $b_2^+(X) = b_2^0(X) = 0$ 이다.
• 경계 $M$이 정수 호모로지 구면이라면, $X$ 위의 교차 형식은 대각화 가능하다.
• Poincaré 호모로지 구면에 의한 $-E_8$ 플러밍에 의해 유도된 contact 구조는 그 교차 형식이 대각화 가능하지 않기 때문에 어떤 평면 open book에 의해서도 지지되지 않는다.
• S^3 내의 링크에서 레그렌드리안 수술을 통해 얻어진 contact 구조 중, 투르스톤-벤니퀴인 수치가 $> 0$ 인 성분을 포함하는 것은 평면 open book에 의해 지지되지 않는다.
• Weinstein 추측은 평면 open book에 의해 지지되는 모든 contact 구조에 대해 성립하지만, 본 연구 결과는 Poincaré 구면 위의 일부 contact 구조(예: 그 구조들)에 대해서는 이 방법으로 추측을 증명할 수 없다는 것을 보여준다.