[논문 리뷰] Planar trees, free nonassociative algebras, invariants, and elliptic integrals

Vesselin Drensky, Ralf Holtkamp|ArXiv.org|2007. 10. 02.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 36인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 레이블이 부여된 축약된 평면 순서 있는 뿌리 있는 트리들을 사용하여 다중선형 연산으로 생성된 자유 비결합 대수를 조사하며, 그들의 힐버트 급수와 선형군 작용에 대한 불변량이 타원적분을 통해 표현될 수 있음을 밝혀낸다. 이는 일반적으로 불변량 대수의 유한 생성성이 성립하지 않음을 증명하며, 삼각함수와 대수적 함수를 포함하는 적분 표현을 통해 생성함수와 힐버트 급수를 명시적으로 계산한다.

ABSTRACT

We consider absolutely free nonassociative algebras and, more generally, absolutely free algebras with (maybe infinitely) many multilinear operations. Such algebras are described in terms of labeled reduced planar rooted trees. This allows to apply combinatorial techniques to study their Hilbert series and the asymptotics of their coefficients. These algebras satisfy the Nielsen-Schreier property and their subalgebras are also free. Then, over a field of characteristic 0, we investigate the subalgebras of invariants under the action of a linear group, their sets of free generators and their Hilbert series. It has turned out that, except in the trivial cases, the algebra of invariants is never finitely generated. In important partial cases the Hilbert series of the algebras of invariants and the generating functions of their sets of free generators are expressed in terms of elliptic integrals.

연구 동기 및 목표

• 다양한 레이블이 부여된 축약된 평면 순서 있는 뿌리 있는 트리와 같은 조합 구조를 사용하여 무한히 많은 다중선형 연산을 가진 자유 다운터미널 대수를 연구한다.
• 자유 $\Omega$-대수에서 계수의 점점 커지는 행동과 힐버트 급수를 분석한다.
• 특성 0에서 선형군 작용에 대한 불변량의 부분대수의 구조를 조사한다.
• 불변량 대수가 유한 생성인지 여부를 판단하고, 그 힐버트 급수를 계산한다.
• 자유 생성자에 대한 생성함수와 불변량의 힐버트 급수를 타원적분과 특수함수를 사용하여 표현한다.

제안 방법

• 자유 $\Omega$-대수를 레이블이 부여된 축약된 평면 순서 있는 뿌리 있는 트리로 표현하며, 단항식은 트리의 구조에 대응한다.
• 생성함수와 적분 변환을 사용하여 자유 대수와 그 불변량의 힐버트 급수를 계산한다.
• GL_d(K)와 SL_d(K)의 표현 이론을 적용하여 KX를 기약 GL_d(K)-모듈로 분해한다.
• 특성과 삼각함수를 포함하는 적분 공식을 사용하여 불변량의 힐버트 급수를 유도한다.
• K\{X\}_{\Omega}^{SL_d(K)}의 힐버트 급수를 사인 함수와 샤우 함수를 포함하는 [0,1] 위의 이중 적분으로 표현한다.
• 알름키스트, 딕스, 포르만에크의 기존 결과를 비결합 $\Omega$-대수로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 $\Omega$-대수에서 선형군 작용에 대한 불변량 부분대수는 일반적으로 유한 생성되는가?
• RQ2 자유 $\Omega$-대수에서 불변량의 힐버트 급수는 타원적분과 같은 특수함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 불변량의 자유 생성자에 대한 생성함수와 기저가 되는 평면 트리의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 불변량의 힐버트 급수는 생성집합 X의 GL_d(K)-모듈 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 비결합 대수에서 불변량의 힐버트 급수 계수의 점점 커지는 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 비자명한 경우에서 자유 $\Omega$-대수의 불변량 대수는 유한 생성이 아니다.
• 불변량의 힐버트 급수는 타원적분을 포함하는 적분으로 표현되며, 예를 들어 $\int_0^1 \cos^2(\pi u) \left(1 - \sqrt{1 - 4z(1 + 2\cos(4\pi u))}\right) du$ 와 같다.
• 불변량의 자유 생성자에 대한 생성함수의 계수는 $d=3$, $\delta$ 가 (26)과 같을 때 $z + 2z^2 + 8z^3 + 58z^4 + \cdots$ 를 따른다.
• 모든 $n \geq 2$ 에 대해 하나의 $n$-항 연산을 갖는 $\Omega_n$ 의 경우, 불변량의 힐버트 급수는 $\frac{1}{2}\int_0^1 \cos^2(\pi u) f(2z\cos(2\pi u)) du$ 로 주어지며, 여기서 $f(t) = 1 + t - \sqrt{1 - 6t + t^2}$ 이다.
• K\{X\}_{\Omega}에서 SL_2(K)-불변량의 힐버트 급수는 $\int_0^1 \sin^2(2\pi u) \left(1 - \sqrt{1 - 8z\sin(2\pi u)}\right) du$ 로 주어지며, 이는 타원적분이다.
• K\{X\}_{\omega}^{SL_2(K)}의 생성함수는 $z + 3z^2 + 21z^3 + 209z^4 + \cdots$ 로 시작하며, 계수는 급격히 증가하고 조합론에서 알려진 수열과 일치한다.