[논문 리뷰] Pluri-potential theory on Grauert tubes of real analytic Riemannian manifolds, I

Steven Zelditch|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 36인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 실해석적 리만다이만 다양체의 복소화 이웃근처인 Grauert 튜브 위에서 복소다양체 이론을 발전시킨다. 스펙트럴 프로젝터의 해석 continuation을 통해 극값 복소다양체 함수의 유사체를 도입하고, 정규화된 복소스펙트럴 프로젝터의 로그가 Grauert 튜브 함수로 수렴함을 증명한다. 이는 고유함수 노름 추정, 삼중적 적분, 복소 노달 집합에 응용 가능하다.

ABSTRACT

We develop analogues for Grauert tubes of real analytic Riemannian manifolds (M,g) of some basic notions of pluri-potential theory, such as the Siciak extremal function. The basic idea is to use analytic continuations of eigenfunctions in place of polynomials or sections of powers of positive line bundles for pluripotential theory. The analytically continued Poisson-wave kernel plays the role of Bergman kernel. The main results are Weyl laws in the complex domain, distribution of complex zeros of eigenfunctions on locally symmetric spaces, and estimates of triple products of eigenfunctions.

연구 동기 및 목표

• 실해석적 리만다이만 다양체의 Grauert 튜브로 복소다양체 함수 이론의 기본 개념을 $\mathbb{C}^m$ 내의 엄격한 편의복소다양체 영역에서 확장한다.
• 스펙트럴 프로젝터의 복소화를 이용해 Siciak-Zaharjuta 극값 복소다양체 함수의 Grauert 튜브 유사체를 정의하고 분석한다.
• 정규화된 복소스펙트럴 프로젝터의 로그가 Grauert 튜브 함수 $\sqrt{\rho}(\zeta)$로 수렴함을 증명하여 스펙트럴 이론과 복소기하학을 연결한다.
• 이 이론을 고유함수의 노름 추정, 삼중적 적분, 복소 노달 집합의 분포에 응용한다.
• 비정규성의 최대 곡률을 가진 국소 대칭 다양체에서 고유함수의 복소영점의 극한 분포가 에르고딕 케이스와 동일한 渐近 법칙을 따른다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 고유함수 $\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}$의 해석적 계속을 $\sqrt{\rho}(\zeta) < \tau$ 인 Grauert 튜브 $M_\tau$로 확장한다. 여기서 $\sqrt{\rho}$는 Grauert 튜브 함수이다.
• 복소스펙트럴 프로젝터 $\Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta}) = \sum_{\lambda_j \in I_\lambda} |\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}(\zeta)|^2$를 정의한다. 이는 지수 성장과 복소다양체 함수 성질을 가진다.
• Siciak-Zaharjuta 극값 함수의 유사체로 정규화된 로그 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$를 도입한다.
• 일항 국소 Weyl 법칙과 고유함수 성장 성질을 이용해 수렴성 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta}) \to \sqrt{\rho}(\zeta)$을 증명한다.
• 분석을 위해 정규화된 스펙트럴 커널 $P_{I_\lambda}^\tau(\zeta,\bar{\zeta}) = \sum_{\lambda_j \in I_\lambda} e^{-\tau\lambda_j} |\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}(\zeta)|^2$ 를 사용한다.
• 삼중적 적분과 복소 노달 집합에 결과를 적용하기 위해 고유함수 $\varphi_{\lambda}^\mathbb{C}$의 제로 divisor와 관련된 현재 $[Z_{\varphi_{\lambda}^\mathbb{C}}]$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 프로젝터의 맥락에서 Siciak-Zaharjuta 극값 복소다양체 함수의 Grauert 튜브 유사체는 무엇인가?
• RQ2 정규화된 복소스펙트럴 프로젝터의 로그는 기하학적 튜브 함수 $\sqrt{\rho}(\zeta)$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 Grauert 튜브 내 고유함수의 渐近 행동을 이용해 노름 추정과 삼중적 적분의 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 비정규성의 최대 곡률을 가진 고차원 국소 대칭 다양체에서 고유함수의 복소 노달 집합의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ5 Grauert 튜브의 해석적 최대 반경과 기하학적 최대 반경은 동일한가? 이는 이론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정규화된 복소스펙트럴 프로젝터 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$는 $\lambda \to \infty$ 일 때 Grauert 튜브 함수 $\sqrt{\rho}(\zeta)$로 수렴한다.
• 일항 국소 Weyl 법칙을 이용해 수렴성을 증명하였으며, 이는 [GLS]의 이전 결과보다도 복소화된 고유함수에 대한 점별 경계를 향상시킨다.
• $\tau < \tau_{\text{an}}$ 일 때, $\partial M_\tau$ 에서 $\varphi_j^\mathbb{C}$ 의 $L^2$-정규화된 제한 $U_j$ 에 대해 $\frac{1}{\lambda_j}\log|U_j|^2$ 는 $L^1(M_\tau)$ 에서 전콤팩트이다.
• 비정규성의 최대 곡률을 가진 고차원 국소 대칭 다양체에서 고유함수에 대해, 복소 노달 집합의 극한 분포는 $\frac{1}{\lambda_j}[Z_{\varphi_j^\mathbb{C}}] \to \frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}|\xi|_g$ 를 만족하며, $\mathcal{D}'^{(1,1)}(B^*_\varepsilon M)$ 에서 약한 수렴성을 가진다.
• 관련 반구형 측도가 양의 Haar 성분을 가지면, 전체 고유함수 수열에 대해 극한 공식이 성립한다. 이는 $SL_n(\mathbb{R})$ 의 코어코어팩트 격자에서 [AS]의 정리에 의해 보장된다.
• Grauert 튜브의 해석적 최대 반경과 기하학적 최대 반경은 동일하며, §11.1에서 개략적으로 설명되어 있어 튜브 구성의 일관성을 확인한다.