[논문 리뷰] Plurisubharmonic envelopes and supersolutions

Vincent Guedj, Chinh H. Lu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 15.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비스코시 슈퍼해프틱 해에 대한 복소 멩게-암페르 방정식의 복소 다중해프틱 캐릭터리스틱 슈퍼해프틱 해가 존재함을 증명하며, 베르만이 영향을 미친 확장된 근사 방법을 사용한다. 주요 기여는 유한 에너지 하위해가 존재할 경우, 슈퍼해프틱 해의 봉우리 함수를 통한 복소 멩게-암페르 방정식의 해 존재성에 관한 새로운 정리로, 특이 다양체 위의 카일러-아인슈타인 계량에 응용된다.

ABSTRACT

We make a systematic study of (quasi-)plurisubharmonic envelopes on compact K\\"ahler manifolds, as well as on domains of $\\mathbb{C}^n$, by using and extending an approximation process due to Berman [Ber13]. We show that the quasi-psh envelope of a viscosity super-solution is a pluripotential super-solution of a given complex Monge-Amp\\`ere equation. We use these ideas to solve complex Monge-Amp\\`ere equations by taking lower envelopes of super-solutions.

연구 동기 및 목표

• 복소 멩게-암페르 방정식의 비스코시 해와 복소 다중해프틱 해 사이의 관계를 명확히 하기.
• 비스코시 슈퍼해프틱 해의 근사 방법을 더 불규칙한 함수, 특히 유계 보렐 측정 가능 함수로 확장하기.
• 비스코시 슈퍼해프틱 해의 psh 봉우리 함수가 복소 다중해프틱 슈퍼해프틱 해임을 증명하기.
• 유한 에너지 하위해가 존재할 경우, 슈퍼해프틱 해의 봉우리 함수를 통한 복소 멩게-암페르 방정식의 해 존재성을 증명하기.
• 결과를 적용하여 음의 첫 번째 체르니 클래스와 준 로그-칸론성 특이성을 가진 다양체 위의 카일러-아인슈타인 계량을 구성하기.

제안 방법

• 유계 보렐 측정 가능 함수에 대해 비스코시 슈퍼해프틱 해의 근사 방법을 확장하기 위해, 지수 가중 측도를 갖는 복소 멩게-암페르 방정식을 푸는 방식으로 Berman의 근사 체계를 확장한다.
• 모든 $\theta$-다중해프틱 함수 중에서 $v$보다 위로 유계이면서 $\nu$-거의 어디에서나 성립하는 함수들의 상한의 상한 정규화로 $(\theta, \nu)$-봉우리 함수 $P_{\theta,\nu}(v)$를 정의한다.
• 근사해 $\varphi_j$의 용량 수렴을 통해 $P_{\theta,\nu}(v)$로의 수렴을 증명하고, 정리 B를 확립한다.
• 비스코시 비교 원리와 근사 방법을 적용하여, 비스코시 슈퍼해프틱 해의 봉우리 함수가 복소 다중해프틱 슈퍼해프틱 해임을 보인다 (정리 A).
• 유한 에너지 클래스 $\mathcal{E}(X,\omega)$에 속하는 모든 슈퍼해프틱 해의 봉우리 함수로 해 $\varphi$를 구성하며, 이가 멩게-암페르 방정식을 만족함을 증명한다 (정리 C).
• 일반화된 용량 간의 정량적 비교성과 유한 에너지 함수류 $I_p$에 대한 준삼각부등식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비스코시 슈퍼해프틱 해의 복소 다중해프틱 봉우리 함수는 동일한 복소 멩게-암페르 방정식의 복소 다중해프틱 슈퍼해프틱 해인가?
• RQ2 비스코시의 근사 방법은 비연속적이고 유계 보렐 측정 가능 함수로까지 확장 가능한가?
• RQ3 유한 에너지 하위해가 존재할 경우, 봉우리 함수 구성에 의해 복소 멩게-암페르 방정식의 해 존재성이 보장되는가?
• RQ4 비스코시 슈퍼해프틱 해는 반드시 준연속적일까, 아니면 병리적인 불연속성을 보일 수 있는가?
• RQ5 봉우리 함수 방법을 사용하여 음의 캐논리컬 번들과 함께 특이 다양체 위의 카일러-아인슈타인 계량 존재성을 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 비스코시 슈퍼해프틱 해 $v$의 복소 다중해프틱 봉우리 함수 $P(v)$는 동일한 복소 멩게-암페르 방정식의 복소 다중해프틱 슈퍼해프틱 해이다.
• 방정식 $(\omega + dd^c \varphi_j)^n = e^{j(\varphi_j - v)}\mu$를 만족하는 수열 $\varphi_j$는 $v$가 유계이자 보렐 측정 가능함에도 불구하고, 용량 수렴으로 $(\omega,\mu)$-봉우리 함수 $P_{\omega,\mu}(v)$로 수렴한다.
• 유한 에너지 클래스 $\mathcal{E}(X,\omega)$에 속하는 모든 슈퍼해프틱 해 $\psi$에 대해 $(\omega + dd^c \psi)^n \leq e^{\psi}\mu$를 만족하는 함수들의 하한 $\inf\{\psi \in \mathcal{E}(X,\omega) \mid (\omega + dd^c \psi)^n \leq e^{\psi}\mu\}$의 봉우리 함수 $\varphi = P(\cdots)$는 $ (\omega + dd^c \varphi)^n = e^{\varphi}\mu $를 만족하는 유일한 해이다.
• 유한 에너지 함수류 $I_p$는 모든 $p > 0$에 대해 준삼각부등식을 만족하며, [BBEGZ11]의 결과를 일반화한다.
• 일반화된 용량은 정량적으로 비교 가능하며, [DNL15]의 결과를 일반화한다.
• 복소 평면 $\mathbb{C}^2$ 위에서 정의된 유계이지만 준연속적이지 않은 비스코시 슈퍼해프틱 해 $u$의 예시는 이러한 함수가 국소적으로도 반드시 준연속적이지 않음을 보여준다.