[논문 리뷰] Plurisubharmonicity in a General Geometric Context

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 19인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 복소기하학을 초월하여 대칭 행렬 공간 내 타원뿔을 이용해 일반적인 기하학적 및 비기하학적 설정으로 다각화된 복소기하학적 복소함수성과 볼록성의 일반화를 수행한다. ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수의 기본 성질을 수립하고, 딜리클레 문제의 존재성과 유일성을 증명하며, ${\cal P}_{+}$의 자유 차원을 통해 위상적 제약 조건을 도입하여 앤드리오티-프랭클 정리를 일반화한다.

ABSTRACT

Recently the authors have explored new concepts of plurisubharmonicity and pseudoconvexity, with much of the attendant analysis, in the context of calibrated manifolds. Here a much broader extension is made. This development covers a wide variety of geometric situations, including, for example, Lagrangian plurisubhamonicity and convexity. It also applies in a number of non-geometric situations. Results include: fundamental properties of $P^+$-plurisubharmonic functions, plurisubharmonic distributions and regularity, $P^+$-convex domains and $P^+$-convex boundaries, topological restrictions on and construction of such domains, continuity of upper envelopes, and solutions of the Dirichlet problem for related Monge-Ampere-type equations. Many results in this paper have been generalized in recent work of the authors. However, this article covers many cases of geometric interest, and certain convexity assumptions here allow the use of classical analytic methods, making the exposition more accessible.

연구 동기 및 목표

• 복소기하학을 초월하여 타원뿔에 의해 정의된 일반적인 기하학적 맥락으로 복소기하학적 복소함수성 이론을 확장하는 것.
• 캘리브레이션, 심플렉틱 기하학 및 기타 기하학적 구조에서 복소기하학적 복소함수성과 볼록성의 통합된 프레임워크를 개발하는 것.
• ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수의 기본 성질을 수립하는 것—정규성, 상한 평균, 분포적 확장 포함.
• 이 일반화된 맥락에서 몽주-암페르 유사 방정식에 대한 딜리클레 문제를 해결하는 것.
• ${\cal P}_{+}$의 자유 차원을 이용해 앤드리오티-프랭클 정리와 같은 위상적 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수를 정의하기 위해 $C^2$ 함수의 헤시안이 닫힌 볼록 타원뿔 ${\cal P}^{+} \subset {\rm Sym}^{2}({\bf R}^{n})$에 속한다는 조건을 사용한다.
• 분포로의 개념 확장과 함께, 이들이 국소적으로 $L^1$에 속하고 유일한 상부 하우스도르프 연속 대표를 가짐을 증명한다.
• 하위가족 함수의 상한을 통한 상한을 이용해 페론 과정을 통해 딜리클레 문제의 해를 구성한다.
• ${\cal P}^{+}$-볼록성의 도메인과 경계를 정의하고, 경계의 엄격한 ${\cal P}^{+}$-볼록성이 도메인의 볼록성을 이끌어낸다는 것을 보여준다.
• ${\cal P}_{+}$-자유 부분공간과 부분다양체를 정의하고, 자유 차원 $\text{fd}({\cal P}_{+})$를 사용하여 ${\cal P}^{+}$-볼록 도메인의 호모토피 유형을 제한한다.
• 가르딩의 초구면 다항식 이론과 MA-연산자를 적용하여 타원성 조건을 특징화하고 몽주-암페르 방정식의 존재 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소기하학을 초월하여 캘리브레이션 및 심플렉틱 기하학적 구조를 포함한 일반화된 맥락에서 복소기하학적 복소함수성의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수에 대한 딜리클레 문제가 어떤 조건에서 해를 가지며, 언제 유일한가?
• RQ3 ${\cal P}^{+}$-볼록 도메인에 가해지는 위상적 제약 조건은 무엇이며, 이는 이중 타원뿔 ${\cal P}_{+}$의 자유 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 최대 원리 및 균일한 극한에 대한 안정성과 같은 복소기하학적 복소함수의 고전적 성질들이 이 일반화된 맥락으로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 타원뿔과 MA-연산자가 몽주-암페르 유사 방정식의 해의 존재성과 정규성 보장에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 함수 $u \in C^2(X)$가 ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수일 조건은, 모든 $\xi$에 대해 $\xi$에 대한 $\operatorname{tr}_\xi(\operatorname{Hess}_x u) \geq 0$를 만족하는 것으로, 라그랑주 및 특수 라그랑주 부분다양체와 같은 기하학적 맥락으로 일반화된다.
• ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수의 집합은 점별 최대값, 감소 극한, 균일한 극한에 대해 닫혀 있으며, 국소적으로 유계인 가족의 상부 하우스도르프 연속 정규화 역시 ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수이다.
• 도메인 $X$가 ${\cal P}^{+}$-볼록일 조건은 엄격한 ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수 성격을 가진 에그제하우션 함수를 가질 때이므로, 복소해석학에서의 허위볼록성 개념을 일반화한다.
• 콤���트 도메인 $\Omega$의 경계 $\partial\Omega$가 엄격한 ${\cal P}^{+}$-볼록성을 가진다면, $\Omega$ 자체도 ${\cal P}^{+}$-볼록이다.
• ${\cal P}_{+}$-자유 부분공간의 최대 차원인 자유 차원 $\text{fd}({\cal P}_{+})$는, 모든 ${\cal P}^{+}$-볼록 도메인이 최대 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ 차원의 CW 복합체와 호모토피 유형을 가짐을 의미하며, 앤드리오티-프랭클 정리를 일반화한다.
• 적절한 경계 조건 하에서 ${\cal P}^{+}$-복소기하학적 복소함수에 대한 딜리클레 문제는 유일한 해를 가지며, 도메인이 ${\cal P}^{+}$-볼록일 경우 페론 방법을 통해 존재성이 보장된다.