[논문 리뷰] POD-Galerkin reduced order methods for combined Navier-Stokes transport equations based on a hybrid FV-FE solver

Saray Busto, Giovanni Stabile외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 18.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 50인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 이산화된 비압축성 스토크스 방정식과 수송 방정식을 연계한 POD-갈레르킨 축소 차원 모델(Rom)을 제안한다. 이는 이중 격자 구조의 유한체적/유한요소(FV-FE) 해법기를 사용하며, 격자에 따라 별도의 축소 기저 공간을 적용하고, 운동량 방정식을 FV 프레임워크에 일관되게 투영하며, 압력장을 포아송 방정식을 통해 재구성함으로써, 주요 변수의 상대 오차가 1% 미만인 3차원 제조된 문제 및 캐비티 유동 기준에서 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

The purpose of this work is to introduce a novel POD-Galerkin strategy for the hybrid finite volume/finite element solver introduced in Berm\\'udez et al. 2014 and Busto et al. 2018. The interest is into the incompressible Navier-Stokes equations coupled with an additional transport equation. The full order model employed in this article makes use of staggered meshes. This feature will be conveyed to the reduced order model leading to the definition of reduced basis spaces in both meshes. The reduced order model presented herein accounts for velocity, pressure, and a transport-related variable. The pressure term at both the full order and the reduced order level is reconstructed making use of a projection method. More precisely, a Poisson equation for pressure is considered within the reduced order model. Results are verified against three-dimensional manufactured test cases. Moreover a modified version of the classical cavity test benchmark including the transport of a species is analysed.

연구 동기 및 목표

• 고계산 효율성을 확보한 비압축성 스토크스 방정식과 수송 방정식을 연계한 축소 차원 모델(Rom) 개발.
• 이중 격자 이산화를 적용한 유한체적/유한요소(FV-FE) 해법기에 확장된 POD-갈레르킨 방법 개발.
• 완전 차원 모델(FOM)과 ROM 간의 일관성을 확보하기 위해 이중 격자 구조를 유지하고 FV 및 FE 공간 간 기저 매핑을 가능하게 함.
• 압력장을 포아송 방정식을 통해 재구성함으로써 ROM에서의 안정성과 정확도 향상.
• 수종 이동이 포함된 수정된 리드드라이브 캐비티를 포함한 3차원 기준 문제에서 ROM의 검증.

제안 방법

• 완전 차원 모델은 이중 격자에서 유한체적/유한요소(FV-FE) 방법을 사용하며, 운동량, 연속성, 수송 방정식을 이중 단계 시간 이산화로 해결한다.
• 속도, 압력, 종분율 필드에 대해 각각 FV 및 FE 격자에서 별도로 적절한 직교 분해(POD)를 적용하여 축소 기저 함수를 생성한다.
• FV 격자(속도)와 FE 격자(압력, 종분율)에서 별도로 축소 기저 공간을 구성하며, 완전 차원 모델 해법기의 구조 덕분에 기저 매핑이 가능하다.
• 운동량 방정식의 갈레르킨 투영은 FV 이산화에 일관되게 구성되어 보존 성질을 유지한다.
• 압력장은 비압축성 조건에서 유도된 포아송 방정식을 통해 ROM에서 재구성되며, FVM 프레임워크와의 일관성을 확보한다.
• 비동차 경계 조건은 정확도를 유지하기 위해 리프팅 함수를 사용하여 처리된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 비압축성 유동 문제에서 이중 격자 구조를 가진 유한체적/유한요소(FV-FE) 해법기에 대해 POD-갈레르킨 ROM를 효과적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 하이브리드 해법기 프레임워크 내에서 유한체적(FV)과 유한요소(FE) 격자 간에 축소 기저 함수를 어떻게 일관되게 정의하고 매핑할 수 있는가?
• RQ3 ROM에서 압력 재구성에 포아송 방정식을 사용할 경우, 직접 압력 투영 방법에 비해 정확도 및 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 ROM은 매개변수화된 비정상 상태에서 복잡한 유동 역학과 종분율 이동을 얼마나 잘 포착할 수 있는가?
• RQ5 연계된 스토크스 방정식과 수송 방정식을 포함한 문제에서, 자유도 수를 크게 줄였음에도 불구하고 ROM이 높은 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 3차원 제조된 문제에서 ROM은 모든 시간 단계에서 속도, 압력, 종분율 필드의 상대 오차가 1% 미만으로 매우 높은 정확도를 확보하였다.
• 압력장은 빠른 고유값 감쇠를 보였으며, 누적 에너지의 99%를 확보하기 위해 소수의 POD 모드(예: 9개)만으로도 정확한 재구성을 가능하게 하였다.
• 종분율 필드는 고유값의 급격한 감쇠를 보이며, 소수의 모드로도 충분히 정확한 재구성을 가능하게 하였지만, t=5s에서 약간의 크기 과소평가 현상이 관찰되었다.
• 속도장에서 가장 높은 상대 오차는 높은 속도 변동성이 있는 초기 시점에서 발생하였으며, 이는 비균일한 스크래치 분포를 통해 정확도 향상을 도모할 수 있음을 시사한다.
• 수정된 리드드라이브 캐비티 기준 문제에서 ROM은 주요 유동 특성과 종분율 이동 패턴을 잘 포착하였으며, 모든 변수 및 시간 단계에서 FOM와 양호한 일치를 보였다.
• 압력 재구성에 포아송 방정식을 사용함으로써 표준 투영 방법에 비해 일관성과 정확도가 크게 향상되었으며, 특히 복잡한 유동 구조가 존재할 경우 두드러진 효과를 보였다.