[논문 리뷰] Poincaré Analysis for Hybrid Periodic Orbits of Systems with Impulse Effects under External Inputs.

Sushant Veer, Rakesh Rakesh외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 08.

Robotic Locomotion and Control참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 펄스 효과를 갖는 하이브리드 시스템에서 주기적 궤도의 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)과 강제 푸앵카레 맵의 대응 고정점에서의 ISS 사이에 엄밀한 등가성을 확립한다. 강제 푸앵카레 맵을 도입하고, 약한 외부 입력 조건 하에서 ISS 추정을 유도함으로써, 기존의 푸앵카레 분석을 궤도형 ISS로 확장하여 지수 안정성 등가성을 복원하고, 리미트 사이클 로봇과 같은 시스템에 대한 강건한 제어 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the relation between robustness of periodic orbits exhibited by systems with impulse effects and robustness of their corresponding Poincar\'e maps. In particular, we prove that input-to-state stability (ISS) of a periodic orbit under external excitation in both continuous and discrete time is equivalent to ISS of the corresponding 0-input fixed point of the associated \emph{forced} Poincar\'e map. This result extends the classical Poincar\'e analysis for asymptotic stability of periodic solutions to establish orbital input-to-state stability of such solutions under external excitation. In our proof, we define the forced Poincar\'e map, and use it to construct ISS estimates for the periodic orbit in terms of ISS estimates of this map under mild assumptions on the input signals. As a consequence of the availability of these estimates, the equivalence between exponential stability (ES) of the fixed point of the 0-input (unforced) Poincar\'e map and ES of the corresponding orbit is recovered. The results can naturally be applied to continuous-time systems as well. Although our motivation for extending classical Poincar\'e analysis to address ISS stems from the need to design robust controllers for limit-cycle walking and running robots, the results are applicable to a much broader class of systems that exhibit periodic solutions.

연구 동기 및 목표

• 펄스 효과를 갖는 하이브리드 시스템에서 주기적 궤도의 강건성과 외부 입력 하에서 해당 푸앵카레 맵의 안정성 사이에 이론적 연결 고리를 확립하기 위해.
• 이전에 점점 더 안정성에 국한되었던 고전적 푸앵카레 분석을, 외부 자극 하에서 주기적 해에 대해 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)으로 확장하기 위해.
• 강제 푸앵카레 맵을 이용한 프레임워크를 개발하여, 맵의 고정점의 ISS 성질에 기반해 주기적 궤도에 대한 ISS 추정을 가능하게 하기 위해.
• 0-입력 푸앵카레 맵 고정점의 지수 안정성과 해당 주기적 궤도의 지수 안정성 사이의 등가성을 ISS 프레임워크 내에서 복원하기 위해.
• 연속 시간 시스템과 주기적 해를 보이는 더 넓은 범주에 해당하는 시스템에 적용 가능한 일반화 가능한 방법을 제공하기 위해, 특히 이동 보행 로봇의 강건한 제어 설계를 위해.

제안 방법

• 저자들은 외부 입력 하에서 펄스 발생 시점마다 시스템 상태의 진화를 모델링하기 위해 '강제 푸앵카레 맵'이라는 새로운 수학적 구조를 정의한다.
• 외부 입력 신호에 대한 약한 연속성 조건을 가정하고, 강제 푸앵카레 맵의 ISS 성질을 활용하여 주기적 궤도에 대한 ISS 추정을 도출한다.
• 외부 입력 신호에 대한 약한 가정 하에, 주기적 궤도의 ISS와 강제 푸앵카레 맵의 0-입력 고정점의 ISS 사이에 등가성을 증명한다.
• 주기적 궤도를 푸앵카레 맵 프레임워크 내의 고정점으로 매핑하기 위해 좌표 변환을 구성함으로써, 표준 고정점 기반 기법을 이용한 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 이 방법은 이산 동역학을 연속 흐름 구조에 통합함으로써 연속 시간 시스템으로 자연스럽게 확장 가능하다.
• 선형화된 강제 푸앵카레 맵의 스펙트럼 성질을 분석함으로써, 지수 안정성 등가성을 복원할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펄스 효과를 갖는 하이브리드 시스템에서 주기적 궤도의 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)은 강제 푸앵카레 맵의 대응 고정점의 ISS와 등가인가?
• RQ2 고전적 푸앵카레 분석은 외부 자극 하에서 궤도형 ISS를 특성화하기 위해 확장될 수 있는가?
• RQ3 강제 푸앵카레 맵의 고정점에 대한 ISS 추정이 주기적 궤도에 대한 ISS 추정을 유도하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 강제 푸앵카레 맵 프레임워크는 0-입력 맵과 주기적 궤도 사이의 지수 안정성 등가성을 어떻게 복원하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 연속 시간 시스템과 더 넓은 범주에 속하는 주기적 시스템에 얼마나 광범위하게 적용 가능한가?

주요 결과

• 외부 자극 하에서 주기적 궤도의 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)은 강제 푸앵카레 맵의 0-입력 고정점의 ISS와 등가이다.
• 약한 입력 조건 하에서, 강제 푸앵카레 맵의 고정점의 ISS 성질에 기반해 주기적 궤도에 대한 ISS 추정을 도출할 수 있다.
• 0-입력 푸앵카레 맵 고정점의 지수 안정성과 주기적 궤도의 지수 안정성 사이의 등가성은 ISS 프레임워크 내에서 복원된다.
• 이 제안된 방법은 이산 동역학을 연속 흐름의 구조에 통합함으로써 연속 시간 시스템에 적용 가능하다.
• 이 프레임워크는 리미트 사이클 보행 로봇과 같은 주기적 해를 갖는 시스템의 제어기 설계를 위한 강건한 분석 기반을 제공한다.
• 결과는 이동 보행 로봇을 넘어서, 펄스 효과를 갖는 주기적 행동을 보이는 광범위한 시스템 클래스로 일반화된다.