[논문 리뷰] Poincare invariants

M. Duerr, Alexandre Kabanov외 1명|ArXiv.org|2004. 08. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 부드럽고 사영인 표면 위의 분할에 대한 Hilbert 스킴에 대해 장애 이론을 사용하여 가상 기본류를 구성함으로써, 변형 불변인 Poincaré 불변량을 정의할 수 있게 하며, 이는 벗어남과 벽을 넘는 공식을 만족한다. 주요 결과는 이러한 불변량이 보편 Seiberg-Witten 불변량과 추측적으로 동치임을 보여주며, 이는 순서가 매겨진 표면, 타원 곡선의 필라션, 일반 유형의 최소 표면을 포함한 여러 경우에서 검증된다.

ABSTRACT

We construct an obstruction theory for relative Hilbert schemes in the sense of Behrend-Fantechi and compute it explicitly for relative Hilbert schemes of divisors on smooth projective varieties. In the special case of curves on a surface V, our obstruction theory determines a virtual fundamental class $[[ \Hilb^m_V ]]$, which we use to define Poincare invariants (P^+_V,P^-_V): H^2(V,Z) --> Λ^* H^1(V,Z) x Λ^* H^1(V,Z). These maps are invariant under deformations, satisfy a blow-up formula, and a wall crossing formula for surfaces with $p_g(V)=0$. We determine the invariants completely for ruled surfaces, and rederive from this classical results of Nagata and Lange. The invariant $(P^+_V,P^-_V)$ of an elliptic fibration is computed in terms of its multiple fibers. We conjecture that our Poincare invariants coincide with the full Seiberg-Witten invariants of Okonek-Teleman computed with respect to the canonical orientation data. The main evidence for this conjecture is based on the existence of an Kobayashi-Hitchin isomorphism which identifies the moduli spaces of monopoles with the corresponding Hilbert schemes. We expect that this isomorphism identifies also the corresponding virtual fundamental classes. This more conceptual conjecture is true in the smooth case.

연구 동기 및 목표

• 사영 표면에 대해 Hilbert 스킴를 사용하여 Seiberg-Witten 이론의 대수기하학적 유사체를 개발한다.
• 공액기의 코homology에서 외부 대수 H^1로의 사상으로서 변형에 대해 불변인 Poincaré 불변량을 정의한다.
• p_g(V) = 0인 표면에 대해 벽을 넘는 공식을 수립하고, 순서가 매겨진 표면과 타원 곡선 필라션에 대해 불변량을 명시적으로 계산한다.
• 표준적인 방향 데이터 하에 Poincaré 불변량이 전부 Seiberg-Witten 불변량과 일치한다는 추측을 제기한다.
• 최소 일반 유형 표면에 대해, 가상 기본류의 차수를 계산하여 추측을 핵심 사례에서 검증한다.

제안 방법

• Behrend-Fantechi의 체계를 사용하여 부드럽고 사영인 대상의 분할에 대한 Hilbert 스킴에 대해 상대 장애 이론을 구성한다.
• k가 정규화 계수일 때, 카오우 그룹 A_{m(m-k)/2}(Hilb^m_V)에서 가상 기본류 [[Hilb^m_V]]를 계산한다.
• Hilb^m_V ×_{Pic^m_V} Hilb^{k-m}_V 가 공집일 경우, 두 번째 장애 이론을 도입하여 더 높은 차수의 두 번째 가상 클래스 {Hilb^m_V}를 얻는다.
• Kobayashi-Hitchin 동형을 사용하여 모듈리 공간의 단극자와 Hilbert 스킴를 연결함으로써, 가상 기본류의 식별 가능성을 제안한다.
• 블로우업 및 벽을 넘는 공식을 적용하여, p_g > 0 및 q > 0인 최소 일반 유형 표면에 대해 deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)}임을 확인함으로써 추측을 축소한다.
• Porteous의 공식과 Brill-Noether 위치에서의 교차 이론을 사용하여 순서가 매겨진 표면 및 타원 곡선 필라션에 대해 불변량을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hilbert 스킴의 곡선에 대해 가상 기본류를 사용하여 Poincaré 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 표면의 변형 하에서 이러한 불변량은 블로우업 공식과 벽을 넘는 공식을 만족하는가?
• RQ3 Poincaré 불변량은 표면의 전부 Seiberg-Witten 불변량과 동치인가?
• RQ4 순서가 매겨진 표면과 타원 곡선 필라션에 대해 불변량의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 p_g > 0 및 q > 0인 최소 일반 유형 표면에 대해 deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)}가 성립하는가?

주요 결과

• 가상 기본류 [[Hilb^m_V]]는 부드럽고 사영인 대상의 분할에 대해 명시적으로 구성되었으며, 기대 차원은 m(m-k)/2이다.
• 순서가 매겨진 표면에 대해 Poincaré 불변량은 Nagata와 Lange의 고전적 결과를 회복하여 기존 기하학과의 일致성을 확인한다.
• 타원 곡선 필라션에 대해 불변량은 다중 섬유를 통해 계산되며, 계수의 범위가 제한된 분할 클래스에 대한 합을 포함하는 명시적 공식이 있다.
• p_g(V) > 0 이고, H^m_V ×_{Pic^m_V} H^{k-m}_V 가 공집일 경우, 가상 기본류 [[Hilb^m_V]]는 0이 된다.
• p_g(V) = 0일 경우 두 번째 가상 클래스 {Hilb^m_V}는 [[Hilb^m_V]]와 일치하며, p_g(V) > 0일 경우 동일한 조건에서 0이 된다.
• Poincaré 불변량이 전부 Seiberg-Witten 불변량과 일치한다는 추측은, p_g > 0 및 q > 0인 최소 일반 유형 표면에 대해 deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)}임을 확인함으로써 축소된다.