[논문 리뷰] Point counting for foliations over number fields

Gal Binyamini|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 다양체에서의 분할의 잎과 대수적 부분다양체 사이의 교차수에 대해 효과적인 다항식 경계를 수립한다. 이는 푸크시안 미분방정식의 해의 성장 추정치를 활용한다. 핵심 결과는 차수와 특이점까지의 로그-거리에 대해 다항식인 점 수 계산 경계로, 이는 디오판틴 기하학에서 효과적인 결정 가능성과 보간 결과를 가능하게 하며, 타원곡선에서의 동시 토르션 점에 대한 효과적인 경계와 모듈라 곡선의 거듭제곱에 대한 앤드류-오어트 추측의 다항식 시간 결정 가능성을 포함한다.

ABSTRACT

We consider an algebraic variety and its foliation, both defined over a number field. We prove upper bounds for the geometric complexity of the intersection between a leaf of the foliation and a subvariety of complementary dimension (also defined over a number field). Our bounds depend polynomially on the degrees, logarithmic heights, and the logarithmic distance to a certain \emph{locus of unlikely intersections}. Under suitable conditions on the foliation, we show that this implies a bound, polynomial in the degree and height, for the number of algebraic points on transcendental sets defined using such foliations. We deduce several results in Diophantine geometry. i) Following Masser-Zannier, we prove that given a pair of sections $P,Q$ of a non-isotrivial family of squares of elliptic curves that do not satisfy a constant relation, whenever $P,Q$ are simultaneously torsion their order of torsion is bounded effectively by a polynomial in the degrees and log-heights of the sections $P,Q$. In particular the set of such simultaneous torsion points is effectively computable in polynomial time. ii) Following Pila, we prove that given $V\subset\mathbb{C}^n$ there is an (ineffective) upper bound, polynomial in the degree and log-height of V, for the degrees and discriminants of maximal special subvarieties. In particular it follows that André-Oort for powers of the modular curve is decidable in polynomial time (by an algorithm depending on a universal, ineffective Siegel constant). iii) Following Schmidt, we show that our counting result implies a Galois-orbit lower bound for torsion points on elliptic curves of the type previously obtained using transcendence methods by David.

연구 동기 및 목표

• 수체 위에서 분할의 잎과 대수적 부분다양체 사이의 교차수에 대해 효과적이고 다항식 경계를 수립하기.
• 대수적 사상에 의한 이러한 교차의 상(image)에 포함된 대수적 점을 세는 프레임워크를 개발하고, 이 경계를 차수와 높이의 함수로 기술하기.
• 이러한 경계를 활용하여 디오판틴 기하학의 고전적 문제들에 대한 효과적 판정판정판을 해결하기, 특히 마서-잔니에르 및 피라의 앤드류-오어트 추측에 해당.
• 초월성 이론을 피하고 해석적 방법을 사용하여 타원곡선의 토르션 점에 대한 갈루아 궤도 하한을 도출하기.

제안 방법

• 수체 위에서 푸크시안 미분방정식을 사용하여 분할 잎의 기하학을 모델링하고 해의 성장 양상을 제어하기.
• 바이어슈트라스 다각형 커버링과 제트 노름 추정치를 적용하여 교차의 국소 기하학을 제어하기.
• 비동차 푸크시안 방정식의 해의 제트 노름 성장에 대해 차수와 높이 제어를 통해 효과적 경계를 수립하기.
• 기저 점에서 목표 점까지 경계를 전파하기 위해 반경이 제어된 디스크의 체인을 구성하여 특이점까지의 거리에 대해 다항식 의존성을 확보하기.
• 대수적 부분다양체와 그 교차의 복잡도를 측정하기 위해 높이와 차수 불변량(δ_V)을 활용하기.
• 분할의 맥락에서 피라-윌키 유형의 수세기 원리를 활용하여 교차 상의 대수적 점 수에 대한 경계를 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할의 잎과 대수적 부분다양체 사이의 교차수는 그 부분다양체의 차수와 높이에 대해 효과적으로 경계될 수 있는가?
• RQ2 해당 교차의 상에 포함된 차수 g와 로그-높이 h를 갖는 대수적 점의 수는 적절한 조건 하에 g와 h에 대해 다항식 경계를 갖는가?
• RQ3 아벨 다양체 가중치 가중치에서의 동시 토르션 점에 대한 마서-잔니에르 추측은 섹션의 불변량에 대해 다항식 경계를 갖는 효과적 판정판정판이 될 수 있는가?
• RQ4 모듈라 곡선의 거듭제곱에 대한 앤드류-오어트 추측은 비효율적 상수를 허용하더라도 다항식 시간 결정 가능 알고리즘을 갖는가?
• RQ5 초월성 이론을 피하고 해석적 방법을 사용하여 타원곡선의 토르션 점에 대한 갈루아 궤도 하한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 콤���트 잎 조각과 대수적 부분다양체 V 사이의 교차수는 δ_V와 log(dist⁻¹(B, Σ_V))에 대해 다항식으로 경계된다. 여기서 δ_V는 V의 차수와 로그-높이를 조합한 것이다.
• 사상 Φ에 대해, Φ(B ∩ V) 내에서 차수 g와 로그-높이 h를 갖는 대수적 점의 수는 적절한 조건 하에 g와 h에 대해 다항식으로 경계된다.
• 비등방성 가중치 가중치의 타원곡선 제곱의 가중치 가중치에서의 동시 토르션 점 집합은 δ_P와 δ_Q에 대해 다항식 시간 내에 효과적으로 계산 가능하며, 토르션 차수는 δ_P와 δ_Q에 대해 다항식으로 경계된다.
• C^n의 부분다양체에 포함된 최대 특수 부분다양체의 차수와 판별식에 대해 비효율적이지만 다항식 상한이 확립되어 있으며, 이는 모듈라 곡선의 거듭제곱에 대한 앤드류-오어트 추측의 다항식 시간 결정 가능성을 암시한다.
• 초월성 기법을 사용한 이전 결과와 동일한 경계를 도출하기 위해 해석적 방법을 사용하여 타원곡선의 토르션 점에 대한 갈루아 궤도 하한이 유도되었다.
• 비동차 푸크시안 방정식의 해의 성장은 특이점까지의 역거리에 대해 다항식으로 나타나며, 방정식의 차수와 높이에 대해 효과적인 의존성을 갖는다.